Giocando in borsa

[Omega3]

Alle 9:00 un'azione di un'azienda vale 2002! euro.Tuttavia durante il corso della giornata il valore cala di molto: ad ogni minuto (dopo le nove) la cifra diventa la somma delle cifre che componevano il valore precedente. Quale sarà il valore dell'azione alle 18:00?

[Omega3]

Do un hint

Testo nascosto:

Ci sarebbe una differenza se il numero fosse 5! ma non se fosse 10!....quale?

[nil]

Testo nascosto:

Se chiamiamo $S(n)$ la somma delle cifre di $n$ , è immediato verificare che $S(n)\equiv n \mod9$ (criterio di divisibilità per $9$).
Abbiamo che dalle 9:00 alle 18:00 passano $60\times9=540$ minuti, cioè il valore dell'azione è $\underbrace{S(S(S(\dots S(}_{540}N)))$.
Cerchiamo di inquadrare $S(2002!)$ : questo è sicuramente minore di $9(1+ \log_{10}{2002!})$ (che sarebbe la somma delle cifre del numero composto da tutti nove avente le stesse cifre di $2002!$. Si verifica facilmente inoltre che $2002^{2002}>2002!$, quindi
$9+18018\times4>9+18018\log_{10}{2002}>9(1+ \log_{10}{2002!})>S(2002!)$
E' evidente così che dopo così tante iterazioni ci sarà un numero di una sola cifra che , essendo $2002!\equiv 0 \mod9$ , deve essere $9$.

[Omega3]

Bene nil!