6. Cavalieri e Furfanti

[lucaboss98]

In un isola ci sono due categorie di persone, i cavalieri che dicono sempre la verità ed i furfanti che mentono sempre. Un certo giorno si riunisce il gran consiglio con [tex]2003[/tex] partecipanti. Essi siedono casualmente ad un tavolo rotondo ed ognuno dichiara: "Entrambi i miei vicini sono furfanti". Il giorno successivo uno dei [tex]2003[/tex] è malato e così ci sono solamente [tex]2002[/tex] partecipanti, che siedono casualmente ad un altro tavolo rotondo ed ognuno dichiara: "Entrambi i miei vicini appartengono alla categoria opposta alla mia". Il malato era un cavaliere o un furfante?

[Omega3]

Dovrebbe essere un cavaliere dopo posto la spiegazione

[lucaboss98]

Dovrebbe essere un cavaliere dopo posto la spiegazione

Giusto

[Omega3]

allora nel primo caso per forza i furfanti devono essere 1002 e i cavalieri 1001. Successivamente per far valere ciò che dice il testo c'è bisogno che i furfanti siano 2 in più rispetto ai cavalieri e per tanto il malato è un cavaliere (perdonatemi la spiegazione poco chiara ma non riesco a renderla in maniera più chiara)

[lucaboss98]

Mmm no, sedondo la prima ci possono essere anche 668 cavalieri

[Omega3]

ah ok io avevo preso in considerazione solo quel caso.

[lucaboss98]

Prova a considerare un gruppo di tre persone sedute vicino, cosa puoi dire prima e cosa dopo?

[Omega3]

allora se non sbaglio nel primo caso possono essere o CFC o FCF o FFC. Nel secondo caso possono essere o FCF o FFF o CFF....giusto?

[aetwaf]

Ci sono $k$ cavalieri e $n$ furfanti

Nel primo caso ci sono al più $2$ furfanti vicini ma non ci sono cavalieri vicini
Infatti vicino a un cavaliere ci sono $2$ furfanti ma vicino a un furfante non possono esserci $2$ furfanti
Quindi $n\le 2k$

Il secondo giorno
Questa volta non ci sono $2$ cavalieri vicini e ci sono almeno $2$ furfanti vicini
Infatti, un cavaliere ha $2$ furfanti vicini e un furfante non può avere $2$ cavalieri vicini ma può avere $2$ furfanti vicini
Ora, supponiamo che se ne vada un furfante
Avremmo $k$ cavalieri e $n-1$ furfanti
E dovremmo avere $n-1\ge 2k$
Quindi
$n\le 2k$ e $n\ge 2k+1$
Assurdo

Se se ne andasse un cavaliere avremmo
$k-1$ cavalieri e $n$ furfanti
$n\ge 2k-2$
Quindi
$n\le 2k$ e $n\ge 2k-2$
Possibile, sostituiamo per cercare soluzioni

$n=2k$
$3k=2003$ assurdo

$n=2k-2$
$3k=2005$ assurdo

$n=2k-1$
$3k=2004$
$k=668$
$n=1335$

Se ne va un cavaliere

[Omega3]

Direi che aetwaf si merita di proseguire