Ancora Cavalieri e Furfanti

[Ale 117]

Un giornalista deve fare un articolo su una classica isola di cavalieri e furfanti . I cavalieri dicono sempre la verità i furfanti mentono sempre e tutti si conoscono reciprocamente. Il giornalista raccoglie le seguenti interviste

A1: C'é almeno un furfante .
A2: Ci sono almeno due furfanti .
...........,,,,.
An-1 : Ci sono almeno n-1 furfanti .
An: Ci sono n furfanti .
Può il giornalista capire se ci sono più furfanti o più cavalieri ?

É preso da un Cesenatico di anni fa . Credo di averlo risolto , ma non avendo trovato soluzioni online chiedo a voi . Grazie in anticipo.

[lucaboss98]

Mi sapresti dire che anno è? perchè per [tex]n=2k+1[/tex] giungo ad un assurdo, e vorrei controllare...

[Archimede]

Credo che n deve essere necessariamente pari in tal caso il numero di cavalieri è pari a quello dei furfanti

[lucaboss98]

Ok, è come mi trovo io

[Ale 117]

Ok anche io ero giunto alla stessa conclusione. 1994

[alessandro_]

Qualcuno può spiegarmi perché con n=2k+1 (n dispari) si giunge ad un assurdo?

[Lasker]

Allora, $A_n$ dice la frase "siamo tutti furfanti", dunque non può essere un cavaliere perché altrimenti dovrebbe essere anche un furfante (che è assurdo), dunque deve essere necessariamente un furfante. A questo punto, $A_1$ dice la verità, perché un furfante effettivamente l'abbiamo trovato, ed è quindi un cavaliere. Ora immagina di eliminare queste due persone dalla fila, rimarranno solamente gli isolani da $A_2$ ad $A_{n-1}$, ed il numero di furfanti indicati da ciascuno "diminuisce" di uno. Ma allora hai lo stesso identico problema con $2k-1$ persone, e puoi iterare il procedimento fino ad avere un'unica persona, che dirà "io sono un bugiardo", il più classico dei paradossi logici.

[alessandro_]

Grazie mille per la spiegazione; anche se ho ancora un dubbio: perché se provo con $n=5$ (ad esempio) non trovo paradossi? Cioè $A_3$ direbbe semplicemente "ci sono almeno 3 furfanti" intendendo mangari $A_1$ , $A_2$ e $A_4$ e quindi sarebbe un furfante. Illuminatemi per favore

[Lasker]

Bon, per $n=5$ ti viene, in sequenza:
-$A_5$ è un furfante, perché dice "siamo tutti furfanti" e un cavaliere non può farlo.
-Allora $A_1$ dice il vero, perché un furfante l'abbiamo trovato, ergo è un cavaliere.
-Ma allora $A_4$, che dice "ci sono almeno $4$ furfanti" mente, perché se tale affermazione fosse vera, visto che un cavaliere c'è ($A_1$), dovrebbe essere anche lui un furfante, e ciò è assurdo, dunque è un furfante e mente.
-Abbiamo trovato già due furfanti sicuri, quindi $A_2$ dice il vero ed è un cavaliere.
Ora siamo arrivati al caso critico $A_3$, e sappiamo che ci sono già due cavalieri e due furfanti. Se $A_3$ fosse un cavaliere, allora la sua frase "ci sono almeno tre furfanti" dovrebbe essere necessariamente vera, ma non lo è perché in questo caso di furfanti ne abbiamo $2$, se viceversa $A_3$ fosse un furfante, dalla sua affermazione deduciamo che ci sono meno di $3$ furfanti, falso perché in tal caso sarebbero $3$ ($A_1,A_2,A_3$). Allora $A_3$ non può essere né un cavaliere, né un furfante, assurdo!
Si capisce di più, adesso?

[alessandro_]

Si, grazie mille per la spiegazione dettagliata, ho capito tutto