I Simboli di Legendre $(\displaystyle{\left(\frac a p\right)})$ sono definiti come segue
Dati un primo $p$ e un numero naturale $a$ allora
$\displaystyle{\left(\frac a p\right)=0}$ se $p\mid a$
$\displaystyle{\left(\frac a p\right)=1}$ se $a$ è residuo quadratico $\pmod p$
$\displaystyle{\left(\frac a p\right)=-1}$ se $a$ è non residuo quadratico $\pmod p$
Dimostrare le seguenti proprietà dei Simboli di Legendre
$\displaystyle{\left(\frac a p\right)\cdotp \left(\frac b p\right)=\left(\frac {ab} p\right)}$
$\displaystyle{\left(\frac {-1} p\right)=(-1)^{\frac {p-1} 2}}$
Bonus facile: Usando questi fatti dimostrare che per $p\equiv 3\pmod 4$
\begin{equation}
x^2+y^2\neq 0\pmod p, x,y\neq 0\pmod p
\end{equation}