Teoria dei numeri,livello basillare

[Livex]

So che questo problema sara tremendamente semplice per voi,solo che vorrei saper se lo risolto bene

calcolare la cifra delle unita di [tex]2008^{2008^{2008}}[/tex]

va calcolato quindi [tex]2008^{2008^{2008}} mod \ 10[/tex]

[tex]8^{2008^{2008}} mod \ 10[/tex]

per sapere se questa tecnica funziona,semplifico l'esponente per la [tex]\varphi(10)[/tex] che calcolo come

[tex]mcm(2-1,5-1)[/tex] scomponendo 10 in fattori (funziona in generale con la formula [tex]mcm(p^{a_1}-p^{a_1-1},....,p^{a_k}-p^{a_k-1}[/tex] ,perche si verifica la phi di tutti i primi e potenze di primi presenti nell'intero,e poi se ne fa l'mcm per vedere dopo quanto tutte le phi "coincidono" giusto?)


modulo quindi [tex]2008^{2008}[/tex] per 4,ottenendo 0

e facendo a mano i resti modulo 10 delle potenze di 8,si vede che la cifra delle unita che corrisponde a 0 è 6

mi rimane quindi [tex]8^6[/tex] che semplifico in [tex]8^2[/tex] e trovo che la cifra delle unita è 4

va bene?

[LeZ]

Se non sbaglio (non ho fatto grandi approfondimenti teorici) la base e il modulo devono essere coprimi per fare un ragionamento con [tex]\varphi(10)[/tex]. Quindi ti consiglio di usare modulo [tex]5[/tex], che è la stessa cosa in questo caso infatti, ti fornisce univocamente la cifra delle unità in quanto [tex]8[/tex] è pari. Sapendo che [tex]\varphi(5)=4[/tex], [tex]8^{4k}\equiv 1 \pmod 5[/tex]. Quindi la cifrà delle unità è [tex]6[/tex].

[Livex]

Capito,quindi stare sempre attenti quando le cose non sono coprime e pensare un po di piu prima di scrivere

Se non sbaglio (non ho fatto grandi approfondimenti teorici)

Siamo in due

[Drago]

Esatto, il teorema di Eulero-Fermat è valido solo con una base coprima con il modulo!
Una sola cosa: è giusto fare il minimo comune multiplo "operativamente", ma non confondere questa cosa con la phi; infatti $\varphi\left(p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}\right)=\left(p_1^{a_1}-p_1^{a_1-1}\right)\cdots\left( p_k^{a_k}-p_k^{a_k-1}\right)$

[Livex]

Ah quindi quella cosa del mcm si ottiene un po come la phi, ma è minore uguale e quindi conveniente per problemi di questo tipo