Si determinino tutte le terne di interi $(x,y,z)$ con $x,y,z\ge2$ che soddisfano le condizioni $$\begin{cases}x\mid yz-1\\ y\mid xz-1\\ z\mid xy-1\end{cases}$$
1. Tre divisibilità
1. Tre divisibilità
Bene, inauguriamo questa staffetta!
Si determinino tutte le terne di interi $(x,y,z)$ con $x,y,z\ge2$ che soddisfano le condizioni $$\begin{cases}x\mid yz-1\\ y\mid xz-1\\ z\mid xy-1\end{cases}$$
Si determinino tutte le terne di interi $(x,y,z)$ con $x,y,z\ge2$ che soddisfano le condizioni $$\begin{cases}x\mid yz-1\\ y\mid xz-1\\ z\mid xy-1\end{cases}$$
Re: 1. Tre divisibilità
innanzitutto diciamo che il sistema è simmetrico,possiamo cioè porre delle condizioni sulle variabili,cioè [tex]x\ge y\ge z[/tex]
è facile notare che [tex](x,y)=1\ \ (x,z)=1\ \ (y,z)=1[/tex] ,infatti se esiste un [tex]d[/tex] che divide [tex]WLOG \ x,y[/tex] allora [tex]xm \equiv zy-1 \pmod{d}[/tex] da cui [tex]0 \equiv -1 \pmod{d}[/tex] e ci troviamo [tex]d=1[/tex]
quindi sono a due a due coprimi...questo ci garantisce che [tex]x>y>z[/tex]
facendo un po di prove si vede che di soluzioni non se ne trovano molte,possiamo tentare un approcio al problema escludendo e facendo i casi a mano
se [tex]\begin{cases}x\mid yz-1\\ y\mid xz-1\\ z\mid xy-1\end{cases} \Longrightarrow \ xyz \mid (yz-1)(xz-1)(xy-1) \Longrightarrow\ (yz-1)(xz-1)(xy-1) \equiv 0 \pmod{xyz} \Longrightarrow \ xz+xy+yz-1 \equiv 0 \pmod{xyz}[/tex]
si hanno ora due possibilita,o [tex]xz+xy+yz-1=0[/tex] ,assurdo per [tex]x,y,z\ge 2[/tex]
oppure [tex]xyz \le xz+xy+yz-1 \le 3xy-1[/tex] (per [tex]x>y>z[/tex]),quindi [tex]xyz \le 3xy-1[/tex] da cui [tex]z<3 ,z \ge 2 \Longrightarrow \ z=2[/tex]
sostituiamo a [tex]xz+xy+yz-1 \equiv 0 \pmod{xyz} \Longrightarrow \ 2x+xy+2y-1 \equiv 0 \pmod{2xy} \Longrightarrow 4x+4y+2xy-2 \equiv 0 \pmod{2xy}[/tex]
da cui [tex]4x+4y-2 \equiv 0 \pmod{2xy} \Longrightarrow \ 2xy \le 4x+4y-2 \le 8x-2 \Longrightarrow \ xy \le 2x+2y-1 \le 4x-1 \Longrightarrow \ xy \le 4x-1[/tex]
e ricaviamo che [tex]y<4[/tex]
dato che erano coprimi, [tex]y=3[/tex],poi si risolve il sistema in x e si ricava [tex]x=5[/tex]
tutte le soluzioni dunque sono le permutazioni di [tex](5,3,2)[/tex] alias [tex]3![/tex] alias [tex]6[/tex]
aspetto conferma,proporro come esercizio una cosa mai vista su questo forum,la geometria!
è facile notare che [tex](x,y)=1\ \ (x,z)=1\ \ (y,z)=1[/tex] ,infatti se esiste un [tex]d[/tex] che divide [tex]WLOG \ x,y[/tex] allora [tex]xm \equiv zy-1 \pmod{d}[/tex] da cui [tex]0 \equiv -1 \pmod{d}[/tex] e ci troviamo [tex]d=1[/tex]
quindi sono a due a due coprimi...questo ci garantisce che [tex]x>y>z[/tex]
facendo un po di prove si vede che di soluzioni non se ne trovano molte,possiamo tentare un approcio al problema escludendo e facendo i casi a mano
se [tex]\begin{cases}x\mid yz-1\\ y\mid xz-1\\ z\mid xy-1\end{cases} \Longrightarrow \ xyz \mid (yz-1)(xz-1)(xy-1) \Longrightarrow\ (yz-1)(xz-1)(xy-1) \equiv 0 \pmod{xyz} \Longrightarrow \ xz+xy+yz-1 \equiv 0 \pmod{xyz}[/tex]
si hanno ora due possibilita,o [tex]xz+xy+yz-1=0[/tex] ,assurdo per [tex]x,y,z\ge 2[/tex]
oppure [tex]xyz \le xz+xy+yz-1 \le 3xy-1[/tex] (per [tex]x>y>z[/tex]),quindi [tex]xyz \le 3xy-1[/tex] da cui [tex]z<3 ,z \ge 2 \Longrightarrow \ z=2[/tex]
sostituiamo a [tex]xz+xy+yz-1 \equiv 0 \pmod{xyz} \Longrightarrow \ 2x+xy+2y-1 \equiv 0 \pmod{2xy} \Longrightarrow 4x+4y+2xy-2 \equiv 0 \pmod{2xy}[/tex]
da cui [tex]4x+4y-2 \equiv 0 \pmod{2xy} \Longrightarrow \ 2xy \le 4x+4y-2 \le 8x-2 \Longrightarrow \ xy \le 2x+2y-1 \le 4x-1 \Longrightarrow \ xy \le 4x-1[/tex]
e ricaviamo che [tex]y<4[/tex]
dato che erano coprimi, [tex]y=3[/tex],poi si risolve il sistema in x e si ricava [tex]x=5[/tex]
tutte le soluzioni dunque sono le permutazioni di [tex](5,3,2)[/tex] alias [tex]3![/tex] alias [tex]6[/tex]
aspetto conferma,proporro come esercizio una cosa mai vista su questo forum,la geometria!
Re: 1. Tre divisibilità
Molto bene!
Una cosa sola (probabilmente è chiara nella tua testa, ma nel tuo post non molto): perché puoi moltiplicare le tre condizioni?
Aspettiamo allora il problema di geometria!
P.S: Era un Selezione Cortona '95 (che era l'equivalente del TST, giusto?)
Una cosa sola (probabilmente è chiara nella tua testa, ma nel tuo post non molto): perché puoi moltiplicare le tre condizioni?
Aspettiamo allora il problema di geometria!
P.S: Era un Selezione Cortona '95 (che era l'equivalente del TST, giusto?)
Re: 1. Tre divisibilità
posso moltiplicare le tre condizioni perche cosi facendo,al massimo creo delle nuove soluzioni,cioè quelle in cui per esempio [tex]xy \mid yz-1[/tex] ma [tex]x\not \mid zy-1[/tex] ,noi scongiuriamo tutto cio con la verifica finale...
PS:Cos'è il TST?
Di geometria non trovo niente di spettacolare,metto quest'altro problema...
2. gli ambasciatori e la tavola rotonda
PS:Cos'è il TST?
Di geometria non trovo niente di spettacolare,metto quest'altro problema...
2. gli ambasciatori e la tavola rotonda