Sia $d$ un intero e $S=\{x^2+dy^2 : x,y\in\mathbb Z\}$
1. Dimostrare che $S$ è chiuso rispetto alla moltiplicazione (ovvero $a\in S,b\in S\Longrightarrow ab\in S$ )
About $x^2+dy^2$
About $x^2+dy^2$
Propongo qua un topic apparso anche sull'oliforum, dovrebbe essere istruttivo!
Sia $d$ un intero e $S=\{x^2+dy^2 : x,y\in\mathbb Z\}$
1. Dimostrare che $S$ è chiuso rispetto alla moltiplicazione (ovvero $a\in S,b\in S\Longrightarrow ab\in S$ )
Sia $d$ un intero e $S=\{x^2+dy^2 : x,y\in\mathbb Z\}$
1. Dimostrare che $S$ è chiuso rispetto alla moltiplicazione (ovvero $a\in S,b\in S\Longrightarrow ab\in S$ )
Re: About $x^2+dy^2$
Vediamo, se ho capito bene la domanda...
Sia a = $x^2 + dy^2$ e b = $z^2 + dw^2$
allora ab = $x^2z^2 + d^2w^2y^2 + dy^2z^2 + dw^2x^2$
aggiungo e sottraggo $2xzdwy$ : $x^2z^2 +2xzdwy + d^2w^2y^2 + dy^2z^2 -2xzdwy + dw^2x^2$
che diventa $(xz + dwy)^2 + d(yz-xw)^2$
Sia a = $x^2 + dy^2$ e b = $z^2 + dw^2$
allora ab = $x^2z^2 + d^2w^2y^2 + dy^2z^2 + dw^2x^2$
aggiungo e sottraggo $2xzdwy$ : $x^2z^2 +2xzdwy + d^2w^2y^2 + dy^2z^2 -2xzdwy + dw^2x^2$
che diventa $(xz + dwy)^2 + d(yz-xw)^2$
Re: About $x^2+dy^2$
Molto bene!
Hai dimostrato anche una cosa leggermente più forte, esplicitando $ab$ (in realtà non so se si possa dimostrare la chiusura senza fare il conto
), ovvero che in $\mathbb Z[\sqrt d]$ la norma è moltiplicativa! 
Ora, altro punto:
2. Sia $p\in S$ un primo e $a\in S$ un intero tale che $p\mid a$. Dimostrare che $\frac a p\in S$.
Hai dimostrato anche una cosa leggermente più forte, esplicitando $ab$ (in realtà non so se si possa dimostrare la chiusura senza fare il conto
), ovvero che in $\mathbb Z[\sqrt d]$ la norma è moltiplicativa! Ora, altro punto:
2. Sia $p\in S$ un primo e $a\in S$ un intero tale che $p\mid a$. Dimostrare che $\frac a p\in S$.
Re: About $x^2+dy^2$
Mmm...scusa ma non è conseguenza della 1? 
cioè se $p$ = $x^2 + dy^2$ non posso assumere che $a$ = $pk$ = $(xz + dwy)^2 + d(yz-xw)^2$ (per qualche $z$ e $w$) e quindi $\frac a p$ = $z^2 + dw^2$ ? :S
cioè se $p$ = $x^2 + dy^2$ non posso assumere che $a$ = $pk$ = $(xz + dwy)^2 + d(yz-xw)^2$ (per qualche $z$ e $w$) e quindi $\frac a p$ = $z^2 + dw^2$ ? :S
Re: About $x^2+dy^2$
ah è vero devo dimostrare che $\{z,w\in\mathbb Z\}$ :/ vabbè ci provo dopo