Differenze

[nil]

Trovare tutti gli interi $x$ tali che

$5^x - 4^x = 3^x - 2^x$

[Lasker]

Io ho fatto una "dimostrazione" sui naturali...
Riscrivo l'equazione come:
[tex]5^x+2^x=3^x+4^x[/tex]
Studio ora, per [tex]x> 2[/tex], il comportamento di:
[tex]5^x>3^x+4^x[/tex]
Pongo [tex]x=3[/tex], l'equazione diventa:
$125>27+64$, che è verificata.
Ora, proseguo per induzione:
$5\times(5^x)>5\times(3^x+4^x)>3^{x+1}+4^{x+1}$
Dunque, per tutti gli $x>2$, non ci sono soluzioni in quanto LHS>RHS.
Ora, basta sostituire, verificando che, per $x=0$ e $x=1$, si trovano soluzioni, mentre per $x=2$ no.

[Drago]

Non che con i negativi sia molto diverso...

[Lasker]

Me ne ero accorto, ma mi pareva troppo brutto fare un doppio post e aspettavo la conferma di nil!
Ovviamente, basta cambiare il verso della disuguaglianza:
[tex]5^x<3^x+4^x[/tex] è verificata nel caso $x=-1$, si può procedere per induzione...
assumo vera:
$5^x<3^x+4^x$
Allora vale:
$\frac{1}{5}(5^x)<\frac{1}{5}(3^x+4^x)<3^{x-1}+4^{x-1}$
e non ci sono nuove soluzioni!
CVD

[afullo]

Per gli x pari e maggiori di 1, congruenze modulo 9:

5^x - 4^x = 3^x - 2^x
(-4)^x - 4^x = 3^x - 2^x
0 = - 2^x

impossibile, poiché 2^x non contiene alcun fattore 3...

Per gli x dispari e maggiori di 1, congruenze modulo 4:

5^x - 4^x = 3^x - 2^x
1 = -1 - 2^x
2^x = 2

ma 2^x = 0 se x vale almeno 2...

[nil]

Ok perfetto la mia soluzione in pratica è uguale alle vostre quindi è inutile che la posti