Trovare tutti gli interi $x$ tali che
$5^x - 4^x = 3^x - 2^x$
Differenze
Re: Differenze
Io ho fatto una "dimostrazione" sui naturali...
Riscrivo l'equazione come:
[tex]5^x+2^x=3^x+4^x[/tex]
Studio ora, per [tex]x> 2[/tex], il comportamento di:
[tex]5^x>3^x+4^x[/tex]
Pongo [tex]x=3[/tex], l'equazione diventa:
$125>27+64$, che è verificata.
Ora, proseguo per induzione:
$5\times(5^x)>5\times(3^x+4^x)>3^{x+1}+4^{x+1}$
Dunque, per tutti gli $x>2$, non ci sono soluzioni in quanto LHS>RHS.
Ora, basta sostituire, verificando che, per $x=0$ e $x=1$, si trovano soluzioni, mentre per $x=2$ no.
Riscrivo l'equazione come:
[tex]5^x+2^x=3^x+4^x[/tex]
Studio ora, per [tex]x> 2[/tex], il comportamento di:
[tex]5^x>3^x+4^x[/tex]
Pongo [tex]x=3[/tex], l'equazione diventa:
$125>27+64$, che è verificata.
Ora, proseguo per induzione:
$5\times(5^x)>5\times(3^x+4^x)>3^{x+1}+4^{x+1}$
Dunque, per tutti gli $x>2$, non ci sono soluzioni in quanto LHS>RHS.
Ora, basta sostituire, verificando che, per $x=0$ e $x=1$, si trovano soluzioni, mentre per $x=2$ no.
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.
PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!
#FREELEPORI
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Re: Differenze
Non che con i negativi sia molto diverso...
Re: Differenze
Me ne ero accorto, ma mi pareva troppo brutto fare un doppio post e aspettavo la conferma di nil!
Ovviamente, basta cambiare il verso della disuguaglianza:
[tex]5^x<3^x+4^x[/tex] è verificata nel caso $x=-1$, si può procedere per induzione...
assumo vera:
$5^x<3^x+4^x$
Allora vale:
$\frac{1}{5}(5^x)<\frac{1}{5}(3^x+4^x)<3^{x-1}+4^{x-1}$
e non ci sono nuove soluzioni!
CVD
Ovviamente, basta cambiare il verso della disuguaglianza:
[tex]5^x<3^x+4^x[/tex] è verificata nel caso $x=-1$, si può procedere per induzione...
assumo vera:
$5^x<3^x+4^x$
Allora vale:
$\frac{1}{5}(5^x)<\frac{1}{5}(3^x+4^x)<3^{x-1}+4^{x-1}$
e non ci sono nuove soluzioni!
CVD
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.
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Re: Differenze
Per gli x pari e maggiori di 1, congruenze modulo 9:
5^x - 4^x = 3^x - 2^x
(-4)^x - 4^x = 3^x - 2^x
0 = - 2^x
impossibile, poiché 2^x non contiene alcun fattore 3...
Per gli x dispari e maggiori di 1, congruenze modulo 4:
5^x - 4^x = 3^x - 2^x
1 = -1 - 2^x
2^x = 2
ma 2^x = 0 se x vale almeno 2...
5^x - 4^x = 3^x - 2^x
(-4)^x - 4^x = 3^x - 2^x
0 = - 2^x
impossibile, poiché 2^x non contiene alcun fattore 3...
Per gli x dispari e maggiori di 1, congruenze modulo 4:
5^x - 4^x = 3^x - 2^x
1 = -1 - 2^x
2^x = 2
ma 2^x = 0 se x vale almeno 2...
Re: Differenze
Ok perfetto la mia soluzione in pratica è uguale alle vostre quindi è inutile che la posti