Quante e quali sono le quadruple distinte di primi (positivi) $(p_1,p_2,p_3,p_4)$ con $p_1<p_2<p_3<p_4$ tali che
$$p_1^2 + p_2^2 + p_3^2 + p_4^2 = 2223?$$
Quadruple di primi
Re: Quadruple di primi
Se $p>2$ vale $p^2\equiv 1 \pmod 4$, dunque assumendo $p_1>2$ non ci sono soluzioni (RHS è congruo a $3$ mod $4$, mentre LHS a $0$).
Ora, posso assumere $p_1=2$
$$p_2^2+p_3^2+p_4^2=2219$$
Ripeto ora il ragionamento modulo $3$, vedendo che $p_2$ deve essere necessariamente $3$ (altrimenti vale $LHS\equiv 0 \pmod 3$ e $RHS\equiv 2 \pmod 3$, assurdo)
Continuando:
$$p_3^2+p_4^2=2210$$
Noto che $53>\sqrt{2210}>47$, dunque i possibili valori di $p_4$ sono i primi $\leq 47$
Distinguo i casi:
$p_4=47\longrightarrow $ nessuna soluzione accettabile per $p_3$
$p_4=43\longrightarrow $ una soluzione accettabile per $p_3=19$
$p_4=41\longrightarrow $ una soluzione accettabile per $p_3=23$
$p_4=37\longrightarrow$ una soluzione accettabile per $p_3=29$
Dunque ho esaminato tutti i casi possibili.
Ora, posso assumere $p_1=2$
$$p_2^2+p_3^2+p_4^2=2219$$
Ripeto ora il ragionamento modulo $3$, vedendo che $p_2$ deve essere necessariamente $3$ (altrimenti vale $LHS\equiv 0 \pmod 3$ e $RHS\equiv 2 \pmod 3$, assurdo)
Continuando:
$$p_3^2+p_4^2=2210$$
Noto che $53>\sqrt{2210}>47$, dunque i possibili valori di $p_4$ sono i primi $\leq 47$
Distinguo i casi:
$p_4=47\longrightarrow $ nessuna soluzione accettabile per $p_3$
$p_4=43\longrightarrow $ una soluzione accettabile per $p_3=19$
$p_4=41\longrightarrow $ una soluzione accettabile per $p_3=23$
$p_4=37\longrightarrow$ una soluzione accettabile per $p_3=29$
Dunque ho esaminato tutti i casi possibili.
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.
PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!
#FREELEPORI
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