Quadruple di primi

[nil]

Quante e quali sono le quadruple distinte di primi (positivi) $(p_1,p_2,p_3,p_4)$ con $p_1<p_2<p_3<p_4$ tali che
$$p_1^2 + p_2^2 + p_3^2 + p_4^2 = 2223?$$

[Lasker]

Se $p>2$ vale $p^2\equiv 1 \pmod 4$, dunque assumendo $p_1>2$ non ci sono soluzioni (RHS è congruo a $3$ mod $4$, mentre LHS a $0$).
Ora, posso assumere $p_1=2$
$$p_2^2+p_3^2+p_4^2=2219$$
Ripeto ora il ragionamento modulo $3$, vedendo che $p_2$ deve essere necessariamente $3$ (altrimenti vale $LHS\equiv 0 \pmod 3$ e $RHS\equiv 2 \pmod 3$, assurdo)
Continuando:
$$p_3^2+p_4^2=2210$$
Noto che $53>\sqrt{2210}>47$, dunque i possibili valori di $p_4$ sono i primi $\leq 47$
Distinguo i casi:
$p_4=47\longrightarrow $ nessuna soluzione accettabile per $p_3$
$p_4=43\longrightarrow $ una soluzione accettabile per $p_3=19$
$p_4=41\longrightarrow $ una soluzione accettabile per $p_3=23$
$p_4=37\longrightarrow$ una soluzione accettabile per $p_3=29$
Dunque ho esaminato tutti i casi possibili.

[nil]

Yes