L'ultima cifra di A deve essere 0, infatti il numero B_1, corrispondente ad A privato dell'ultima cifra, deve dividere il numero A nella sua interezza; questo accade con certezza se l'ultima cifra di A è nulla (e il quoto è 10), ma se questo finisce con una cifra compresa tra 1 e 9, non può accadere, in quanto il numero B_1, di 999 cifre, dovrebbe dividere anche la differenza tra questo e quello in cui l'ultima cifra è 0, cioè un intero positivo inferiore a 10.
La penultima cifra di A deve essere 0, infatti il numero B_2, corrispondente ad A privato della penultima cifra, deve dividere il numero nella sua interezza; esso è costituito dalle prime 998 cifre e dall'ultima di A, ma abbiamo già stabilito che quest'ultima è 0. Ora, se la penultima cifra è anch'essa 0, la divisibilità è esatta (e il quoto è ancora 10), altrimenti B_2, numero di 999 cifre, dovrebbe dividere anche la differenza tra questo e quello in cui la penultima cifra è 0, cioè un intero positivo inferiore a 100.
La i-esima cifra di A da destra deve essere 0, infatti il numero B_i, corrispondente ad A privato della i-esima cifra da destra, deve dividere il numero nella sua interezza; esso è costituito dalle prime 1000-i cifre e dalle ultime i-1 cifre di A, che però supponiamo di avere già (induttivamente) stabilito essere zero. Ora, se la i-esima cifra da destra è anch'essa zero, la divisibilità è esatta (e il quoto è ancora 10), altrimenti B_i, numero di 999 cifre, dovrebbe dividere anche la differenza tra questo e quello in cui la i-esima cifra da destra è 0, cioè un intero positivo inferiore a 10^i. Questo può essere fatto per i fino a 998 compreso, in quanto 10^998 ha 999 cifre (e un numero inferiore ne ha al più 998), mentre 10^999 ha 1000 cifre (e un numero inferiore ne potrebbe avere 999, non permettendo di escludere a priori la divisibilità).
Tutte le cifre dalla terza in poi sono pertanto 0. Per le prime due, infine, si chiede che il numero privato della seconda cifra divida tutto il numero, ovvero, semplificando tutti gli zeri (lo si sarebbe potuto fare anche prima scrivendo il passo induttivo in maniera differente, ma è uguale), che la prima cifra divida il numero costituito dalle prime due. Questo è vero per:
10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19
20, 22, 24, 26, 28
30, 33, 36, 39
40, 44, 48
50, 55
60, 66
70, 77
80, 88
90, 99
In totale ci sono dunque 32 numeri: quelli riportati moltiplicati per 10^998.
... però non ho una soluzione alternativa , ho usato lo stesso metodo in pratica :/ 