Determinare se esiste una progressione aritmetica infinita nella quale ogni termine non è nè somma di due quadrati nè somma di due cubi.
Progressione senza potenze
Progressione senza potenze
Facile e carino!
Determinare se esiste una progressione aritmetica infinita nella quale ogni termine non è nè somma di due quadrati nè somma di due cubi.
Determinare se esiste una progressione aritmetica infinita nella quale ogni termine non è nè somma di due quadrati nè somma di due cubi.
Re: Progressione senza potenze
Mi servirò dei residui quadratici modulo $4$ e cubici modulo $9$
1) mod (4)
$1^2\equiv 1 \pmod 4$
$2^2\equiv 0 \pmod 4$
$3^2\equiv 1 \pmod 4$
$4^2\equiv 0 \pmod 4$
E siamo entrati in un ciclo (ho esaminato l'intera classe di congruenza), dunque i residui quadratici modulo $4$ sono solo $0,1$.
Appare subito evidente come, sommando due termini qualsiasi presi da $\left\{0,1\right\}$, non si possa mai ottenere $3$, e dunque nessun numero congruo a $3$ modulo $4$ può essere somma di due quadrati.
2)mod (9)
$1^3\equiv 1 \pmod 9$
$2^3\equiv -1 \pmod 9$
$3^3\equiv 0 \pmod 9$
$4^3\equiv 1 \pmod 9$
$5^3\equiv -1 \pmod 9$
$6^3\equiv 0 \pmod 9$
$7^3\equiv 1 \pmod 9$
$8^3\equiv -1 \pmod 9$
$9^3\equiv 0 \pmod 9$
E siamo entrati in un ciclo (di nuovo, ho esaminato l'intera classe di congruenza), dunque i residui cubici modulo $9$ sono solo $0,1,-1$.
Appare subito evidente come, sommando due termini qualsiasi presi da $\left\{0,1,-1\right\}$, non si possa mai ottenere $3$, e dunque nessun numero congruo a $3$ modulo $9$ può essere somma di due cubi.
Quindi, se prendessi una serie aritmetica SEMPRE congrua a $3$ modulo $(4,9)$, avrei soddisfatto tutte le richieste...
Ad esempio:
$36n+3$ , in tutti i suoi infiniti valori, non è mai somma né di due quadrati, né di due cubi.
1) mod (4)
$1^2\equiv 1 \pmod 4$
$2^2\equiv 0 \pmod 4$
$3^2\equiv 1 \pmod 4$
$4^2\equiv 0 \pmod 4$
E siamo entrati in un ciclo (ho esaminato l'intera classe di congruenza), dunque i residui quadratici modulo $4$ sono solo $0,1$.
Appare subito evidente come, sommando due termini qualsiasi presi da $\left\{0,1\right\}$, non si possa mai ottenere $3$, e dunque nessun numero congruo a $3$ modulo $4$ può essere somma di due quadrati.
2)mod (9)
$1^3\equiv 1 \pmod 9$
$2^3\equiv -1 \pmod 9$
$3^3\equiv 0 \pmod 9$
$4^3\equiv 1 \pmod 9$
$5^3\equiv -1 \pmod 9$
$6^3\equiv 0 \pmod 9$
$7^3\equiv 1 \pmod 9$
$8^3\equiv -1 \pmod 9$
$9^3\equiv 0 \pmod 9$
E siamo entrati in un ciclo (di nuovo, ho esaminato l'intera classe di congruenza), dunque i residui cubici modulo $9$ sono solo $0,1,-1$.
Appare subito evidente come, sommando due termini qualsiasi presi da $\left\{0,1,-1\right\}$, non si possa mai ottenere $3$, e dunque nessun numero congruo a $3$ modulo $9$ può essere somma di due cubi.
Quindi, se prendessi una serie aritmetica SEMPRE congrua a $3$ modulo $(4,9)$, avrei soddisfatto tutte le richieste...
Ad esempio:
$36n+3$ , in tutti i suoi infiniti valori, non è mai somma né di due quadrati, né di due cubi.
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.
PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!
#FREELEPORI
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Re: Progressione senza potenze
Ok, bene! 
Io avevo usato $3+28d$...
Io avevo usato $3+28d$...