Alcuni primi sono grandi.

[Giovanni98]

Dimostrare che esistono infiniti $n $ interi positivi tali che il più grande primo che divide $n^4 + n^2 + 1$ è uguale al più grande primo che divide $(n+1)^4 + (n+1)^2 + 1$

[Leonardo Rossi]

Boh... Ma per [tex]n=2[/tex] non si ottengono 21 e 91? In tal caso è sbagliato il testo e il secondo "più grande" diventa "più piccolo"...

[Morets]

Guarda che ti chiede di dimostrare che siano infiniti non che tutti gli n soddisfino questa propretà. n=2 semplicemente non fa parte di questi infiniti numeri.

[Morets]

Testo nascosto:

Ma basta mostrare che sono entrambi divisibili per (n^2+n+1)?

[Leonardo Rossi]

È vero, chiedo venia.

[mr96]

Testo nascosto:

Ma basta mostrare che sono entrambi divisibili per (n^2+n+1)?

No, ti serve che sia primo e che sia il più grande.

[Morets]

right

[Rho33]

Sbaglio o LTE non funziona in questo caso ? ( ci ho provato a mente ma senza ottenere granchè dopo averlo applicato una volta)

[Livex]

Soluzione

Testo nascosto:

Innanzitutto notiamo che $n^4+n^2+1=(n^2+n+1)((n-1)^2+(n-1)+1)$ (questa fattorizzazione si ottiene aggiungendo quadrati ecc.), allo stesso modo $(n+1)^4+(n+1)^2+1=((n+1)^2+(n+1)+1)(n^2+n+1)$

Denotiamo $f(a)=a^2+a+1$.
Quindi $n^4+n^2+1=f(n)f(n-1)$ e $(n+1)^4+(n+1)^2+1=f(n+1)f(n)$

Sia $P_{max}(a)$ il più grande primo che divide $a$
Dunque vogliamo dimostrare che esistono infiniti $n : P_{max}(f(n-1)f(n))=P_{max}(f(n)f(n+1))$
Notiamo $P_{max}(f(a)f(a+1))=max\{P_{max}f(a),P_{max}f(a+1) \} \ \ \ \ (1)$

Supponiamo per assurdo che ne esista un numero finito, per cui esiste $k$ tale che per ogni $n>k$ si ha $P_{max}(f(n-1)f(n))\not =P_{max}(f(n)f(n+1)) \ \ \ \ (2)$.
Lavoriamo quindi nell'intervallo $\ ]k,+ \infty ]$


Se esiste $a$ tale che $P_{max}(f(a)) \ge P_{max}(f(a+1)),P_{max}(f(a-1))$ allora $P_{max}(f(a-1)f(a))=P_{max}(f(a)f(a+1))$, quindi $(2)$ è falsa, assurdo.

Dunque deve valere $P_{max}(f(k+1)) \ge P_{max}(f(k+2)) \ge P_{max}(f(k+3)) \ge...$ oppure $P_{max}(f(k+1)) \le P_{max}(f(k+2)) \le P_{max}(f(k+3)) \le...$
Notiamo inoltre che se $P_{max}(f(a))=P_{max}(f(a+1))=P_{max}(f(a+2))$ si ha la tesi, quindi la successione decresce di almeno uno ogni 3 (detta proprio terra-terra)

La prima è banalmente falsa in quanto ogni 3 decresce e siamo sui naturali.
Concentriamoci sulla seconda.

$P_{max}(f(k+1)) \le P_{max}(f(k+2)) \le P_{max}(f(k+3)) \le...$
Notiamo che se esiste $a$ tale che $P_{max}(f(a))=P_{max}(f(a+1))$ allora $P_{max}(f(a-1)f(a))=P_{max}(f(a)f(a+1))$ perchè per ipotesi $f(a-1) \le f(a)$, per cui vale la disuguaglianza stretta.

Cioè $P_{max}(f(k+1)) < P_{max}(f(k+2)) < P_{max}(f(k+3)) <...$, ma per $(2)$ si ha $P_{max}(f(k+1)f(k+2))=max \{P_{max}(f(k+1)),P_{max}(f(k+2))\}$, assurdo per questioni di grandezza.

P.s. una volta ottenuta la disuguaglianza stretta credo che si possa concludere anche studiando $f(x+1)/f(x)$ e la distribuzione dei primi, ci ho provato ma, non essendo capace, mi vengono le cose più informali al mondo e preferisco non renderle pubbliche xD
Se qualcuno bravo avesse voglia di scrivere questo tipo di conclusione gliene sarei grato