Bene, come tutte le equazioni diofantee, lo risolviamo con conti e disuguaglianze
Svolgendo tutti i conti e semplificando ciò che si deve semplificare si ottiene ( non li sto riportando perchè non è così utile ai fini del problema, ma in gara ovviamente lo farei!)
$4z=zxy+4x+4y+4xy$
Ora notiamo che , essendo non negativi, la terna $(0,0,0)$ ovviamente soddisfa. Bene, l'equazione è simmetrica in $x$ e $y$ quindi tutte le soluzioni che troverò lavorando con la $x$ avranno le rispettive simmetriche in $y$.
Osserviamo che, ponendo $x=0, \ \ y=z$ si ottiene un 'identità : $ 4z=4z$ da cui tutte le soluzioni nella forma $ (0,a,a)$ e le simmetriche $(a,0,a)$ soddisfano la relazione con $a \in \mathbb{N}$.
Detto ciò, supponendo che $x,y,z>0$ per come è impostata la relazione, il LHS è maggiore di ognuno degli addendi al RHS da cui:
$\bullet 4z>4x \rightarrow \ \ z>x$
$\bullet 4z>4y \rightarrow \ \ z>y$
$\bullet 4z>4xy \rightarrow \ \ z>xy$
$\bullet 4z>xyz \rightarrow \ \ 4>xy$ $(\star)$
Per la $(\star)$ distinguiamo pochi semplici casi per ottenenere:
$\bullet x=1 \ \ y=1 \rightarrow z=4$ quindi $(1,1,4)$ soddisfa.
$\bullet x=1 \ \ y=2 \rightarrow z=10$ quindi $(1,2,10)$ soddisfa così come la simmetrica $(2,1,10)$.
$\bullet x=1 \ \ y=3 \rightarrow z=28$ quindi $(1,3,28)$ soddisfa così come la simmetrica $(3,1,28)$.