Consideriamo l'insieme $$D= \left \{ n \in \mathbb{N} : n \mid 2^n +1 \right \} $$
a) Determinare tutti i primi in $D$
b)Determinare tutte le potenze di primi che appartengono a $D$
c)Determinare tutti gli elementi di $D$ prodotto di due primi
d)Dimostrare che tutti gli elementi di $D$ sono multipli di $3$
e) Determinare tutti gli elementi di $D$ della forma $p^2q$ con $p,q$ primi distinti.
Testo nascosto:
a) $n=p$ quindi $2^p \equiv -1 \pmod p \iff 3 \equiv 0 \pmod p \iff p=3$. Il caso $p=2$ non porta a risultati.
d)Logicamente viene prima il d)! Infatti: sia $p$ il P.P.P. che divide $2^n+1$. Cioè $2^n \equiv -1 \pmod p \iff 2^{2n} \equiv 1 \pmod p$. Segue che:
Ora, questo MCD non può essere tante cose, infatti: per assurdo $(2n,p-1)=d > 2$. Allora $d \mid p-1$ e quindi $d$ ha dei primi più piccoli di $p$ , assurdo!
Allora $d=2$ e quindi:
$\bullet \ \ ord_p(2)= 2 \rightarrow \ \ p=3$
$\bullet \ \ ord_p(2)=1 \rightarrow $ assurdo!
b) $n=3^k$ quindi $2^{3^k} \equiv -1 \pmod {3^k}$ . Cerco $v_3(2^{3^k}+1^{3^k})$, ma è ovvio che tutte le ipotesi per applicare LTE sono verificate, quindi $v_3(2^{3^k}+1^{3^k})=v_3(2+1)+ v_3(3^k)=k+1 \iff 3^{k+1} \mid \mid 2^{3^k}+1$. Tutte le potenze di $3$ vanno bene.
c)$n=pq$ . WLOG $p=3$. Quindi $n=3q$ . Spezzo la congruenza in :
Infatti lo dovresti mettere anche prima del punto b), altrimenti potresti aver perso le potenze di primi diversi da $3$. Oppure dici che $2^{q^k}=2^{q \cdot q^{k-1}} \equiv 2^{q^{k-1}} \pmod{q}$ e quindi, proseguendo per induzione, $2^{q^k} \equiv 2 \pmod{q}$, da cui $q=3$.
Re: Stile dimostrativo - Teoria dei Numeri
Inviato: 25/06/2016, 14:37
da Rho33
Corretto, purtroppo ci ho pensato una volta spento il pc che andava messo come secondo! Non capisco però perché l'ordine sia diverso. Cioè, senza il $d$ non si va da nessuna parte!