Terne di interi

[Emanuele]

Trovare tutte le terne di interi positivi tali che a^7 + b^7 = 7^c
Qualcosa sono riuscito a dirla ma poi mi sono bloccato, help ragazzii

[Gerald Lambeau]

Vuoi un aiuto o la soluzione? Se ti serve solamente un aiuto mostra quello che sei riuscito a fare finora.

[mr96]

Viene abbastanza velocemente con LTE, e mi pare che in un Senior fosse anche dimostrato in un altro modo un po' più cannonoso e rapido. Forse viene anche per discesa infinita, ma non ho mai provato. In ogni caso, ti direi: scomponi quello che hai a sinistra e ragiona sui fattori che devono avere le due parti che ti vengono, e guardati LTE se non l'hai mai visto, magari qui.

Se invece non ti interessa continuare a provare ma vuoi direttamente la soluzione, il problema è già stato trattato qui.

EDIT: provo a buttar giù la soluzione data al Senior

Testo nascosto:

[tex](a+b)(\frac{a^7+b^7}{a+b})=7^c \Rightarrow a+b=7^{\alpha},\alpha \in \mathbb{N^+}[/tex]

Lemma (guadagno di un primo): sia [tex]p[/tex] un primo dispari, allora [tex]a^p+b^p[/tex] ha un fattore primo in più rispetto a [tex]a+b[/tex], tranne se [tex]p=3,a=1,b=2[/tex] o [tex]a=b=1[/tex].

Ma allora il secondo termine a sinistra ha un fattore [tex]\neq 7[/tex], e a destra ci sono solo fattori [tex]7[/tex], assurdo.

[Emanuele]

All'inizio usando Fermat avevo dimostrato che a+b dev'essere multiplo di 7 e per assurdo che a e b contengono il fattore 7 ripetuto lo stesso numero di volte mentre sono coprimi per il resto e poi avevo detto qualcosa usando il modulo 3 ma nulla. Avevo invece stupidamente tralasciato l'idea di fattorizzare a^7+b^7 che è risultata poi l'idea vincente grazie mille!