[L03] Radici intere
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[L03] Radici intere
Siano $a, b$ due interi positivi distinti. Dimostrare che se $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ è intero allora $a$ e $b$ sono due quadrati perfetti.
"I matematici non realizzano nulla... semplicemente scoprono e dimostrano verità intrinseche riguardanti tutto ciò che esiste, ovvietà e banalità per una mente superiore, perfetta. Ed è quello il mio obiettivo!"
Cit. Marco (mio vero nome)
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Re: [L03] Radici intere
Abbiamo:[tex]\sqrt{a}-\sqrt{b}=n \mbox{ con } n\in\mathbb{Z}.[/tex]
Elevando al quadrato si ottiene: [tex]a+b-2\sqrt{ab}=n^2[/tex]
Allora [tex]\sqrt{ab}[/tex] deve essere un numero intero, ed essendo [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex]
due interi positivi distinti,allora devono essere entrambi quadrati perfetti.Può andare?
Elevando al quadrato si ottiene: [tex]a+b-2\sqrt{ab}=n^2[/tex]
Allora [tex]\sqrt{ab}[/tex] deve essere un numero intero, ed essendo [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex]
due interi positivi distinti,allora devono essere entrambi quadrati perfetti.Può andare?
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Re: [L03] Radici intere
Se [tex]\sqrt{ab}[/tex] è intero ciò non implica necessariamente che sia a che b siano quadrati
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Re: [L03] Radici intere
Come dice alex, prendi $a=12, b=3$ e quello che dici tu non è più vero.
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Re: [L03] Radici intere
Testo nascosto:
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Re: [L03] Radici intere
Buona.
Modo più meccanico: elevare una sola volta al quadrato, guardare $\sqrt{ab}$, che deve essere intero, e guardare i primi con esponente dispari nelle fattorizzazioni di $a$ e di $b$ (cioè si suppone per assurdo che ci siano tali primi, più precisamente che almeno uno tra $a$ e $b$ non sia un quadrato. Non giungeremo mica ad avere $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ irrazionale?). Cosa notate? Come possiamo quindi scrivere $a$ e $b$? Che succede di bello se li ributtiamo nell'espressione di partenza?
Modo più meccanico: elevare una sola volta al quadrato, guardare $\sqrt{ab}$, che deve essere intero, e guardare i primi con esponente dispari nelle fattorizzazioni di $a$ e di $b$ (cioè si suppone per assurdo che ci siano tali primi, più precisamente che almeno uno tra $a$ e $b$ non sia un quadrato. Non giungeremo mica ad avere $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ irrazionale?). Cosa notate? Come possiamo quindi scrivere $a$ e $b$? Che succede di bello se li ributtiamo nell'espressione di partenza?
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Re: [L03] Radici intere
Mmh... Io ho in testa un'altra soluzione...
Testo nascosto:
C'è chi ha definito ogni persona come una guerriera della vita... ed allora ogni matematico combatte una guerra eterna contro i numeri per conquistarli: e più saremo in tanti a combattere tali battaglie, prima la vinceremo. Cit.Me
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Re: [L03] Radici intere
è la prima volta che faccio una dimostrazione su questo forum, siate clementi:
Testo nascosto: