[L03] Terne giapponesi

[Toadino2]

Ho voluto azzannare un problema un po' più difficile che si sta rivelando ostichetto mentre continuo a scervellarmi, lo propongo anche a voi. P.S. Forse non ho stimato perfettamente il livello...

Si trovino tutte le terne ordinate di interi positivi $a,b,c$ tali che $2^a+3^b+1=6^c$.

[Gerald Lambeau]

Testo nascosto:

Supponiamo $a \ge 3$ e osserviamo $3^b+1$ modulo $8$: esso può essere solo $2 \lor 4$ e quindi $2^a+3^b+1 \equiv 2 \lor 4 \pmod{8}$ quindi $c \le 2$.
Provando a mano i pochi casi (per $a$ e $b$ troppo grandi si sfora $36$) otteniamo le terne $(1, 1, 1)$ (questa al momento la consideriamo non buona perché avevamo $a \ge 3$), $(3, 3, 2)$ e $(5, 1, 2)$.
Osserviamo che con $a=1$ abbiamo $2^a+3^b+1 \equiv 4 \lor 6 \pmod{8}$ e quindi abbiamo sempre $c \le 2$ e provando a mano otteniamo la terna $(1, 1, 1)$ (eccola che ritorna fuori).
Resta solo $a=2$, ma in questo caso $2^a+3^b+1 \equiv 2 \pmod{3}$, ma dato che $c \ge 1$ abbiamo $6^c \equiv 0 \pmod{3}$, assurdo.
Le uniche soluzioni sono quindi $(1, 1, 1)$, $(3, 3, 2)$ e $(5, 1, 2)$.

Sarei più propenso a dire L03...

[Toadino2]

Inutile dirlo, è corretta...
Non avevo considerato l'idea di guardare in moduli diversi

[carlotheboss]

Testo nascosto:

Supponiamo $a \ge 3$ e osserviamo $3^b+1$ modulo $8$: esso può essere solo $2 \lor 4$ e quindi $2^a+3^b+1 \equiv 2 \lor 4 \pmod{8}$ quindi $c \le 2$.
Provando a mano i pochi casi (per $a$ e $b$ troppo grandi si sfora $36$) otteniamo le terne $(1, 1, 1)$ (questa al momento la consideriamo non buona perché avevamo $a \ge 3$), $(3, 3, 2)$ e $(5, 1, 2)$.
Osserviamo che con $a=1$ abbiamo $2^a+3^b+1 \equiv 4 \lor 6 \pmod{8}$ e quindi abbiamo sempre $c \le 2$ e provando a mano otteniamo la terna $(1, 1, 1)$ (eccola che ritorna fuori).
Resta solo $a=2$, ma in questo caso $2^a+3^b+1 \equiv 2 \pmod{3}$, ma dato che $c \ge 1$ abbiamo $6^c \equiv 0 \pmod{3}$, assurdo.
Le uniche soluzioni sono quindi $(1, 1, 1)$, $(3, 3, 2)$ e $(5, 1, 2)$.

Sarei più propenso a dire L03...

Identica alla mia, dunque non posto