Cesenatico 2010 1

[Rho33]

Ad un test di matematica partecipano $N < 40$ persone. La sufficienza è fissata a $65$. I risultati del test sono i seguenti: la media di tutti i partecipanti è $66$, quella dei promossi $71$ e quella dei bocciati $56$. Tuttavia, a causa di un errore nella formulazione di un quesito, tutti i punteggi vengono aumentati di $5$. A questo punto la media dei promossi diviene $75$ e quella dei non promossi $59$.

(a) Trovare tutti i possibili valori di $N$.

(b) Trovare tutti i possibili valori di $N$ nel caso in cui, dopo l’aumento, la media dei promossi fosse diventata $79$ e quella dei non promossi $47$.

[peppe]

Questa è la mia soluzione, è completa o manca qualcosa?

Testo nascosto:

a) Osserviamo che la questa situazione è possibile, perché la media dei promossi è aumentata in modo minore rispetto all'aumento complessivo dei voti

Adesso chiamiamo:
[tex]B=[/tex] il numero dei bocciati
[tex]P=[/tex] il numero dei promossi
[tex]B+P=N[/tex]

Quindi scriviamo le equazioni delle medie dei voti dei promossi e dei bocciati.
[tex]66N=71P+56B[/tex]
[tex]71N=75P+59B[/tex]

Troviamo nel primo caso che:
[tex]66P+66B=71P+56B[/tex]
[tex]5P=10B[/tex]
[tex]P=2B[/tex]

Nel secondo caso invece:
[tex]71P+71B=75P+59B[/tex]
[tex]4P=12B[/tex]
[tex]P=3B[/tex]

Quindi il numero totale degli alunni N lo possiamo esprimere in questi due modi:
[tex]N=P+B=2B+B=3B[/tex]
[tex]N=P+B=3B+B=4B[/tex]
Visto che N e B sono due numeri interi allora N deve essere multiplo di 3 e di 4 e quindi anche di 12.
Possiamo concludere che i valori N sono tutti i multipli di 12 [tex]<40[/tex] e quindi i valori di [tex]N[/tex] per cui la situazione è possibile sono [tex]12;24;36[/tex]

b) Non è possibile per alcun valore di N.
Il caso nel quale la media dei voti dei promossi aumenta di più è il caso nel quale nessun bocciato, con l'aumento dei voti, non venga promosso, allora poniamo il caso nel quale che nessun bocciato venga promosso con l'aumento dei voti, l'aumento massimo della media dei promossi dovrebbe essere 5, ma in questo caso è 8, assurdo.