a) Troviamo che la scomposizioni in fattori primi di 2001 è [tex]3*23*29[/tex]
Quindi [tex]x^(3*23*29)=y^x[/tex]
[tex]x[/tex] deve essere uguale a 3,23 o 29; infatti se [tex]x[/tex] fosse un numero primo diverso, allora [tex]y[/tex] sarebbe del tipo [tex]x^{3*23*29*\frac{1}{x}}[/tex], dove però [tex]x[/tex] è co-primo con 3,23 e 29 e quindi se [tex]\sqrt[x]{x}[/tex] è un numero irrazionale, l'elevazione a 3,23 e 29 non servirebbe per renderlo razionale.
Possiamo affermare questo in quanto l'unico [tex]n[/tex] per il quale [tex]\sqrt[x]{x}[/tex] è razionale è solo 1, che non è un numero primo, infatti per [tex]x\ge2[/tex] troviamo [tex]2^x>x>1[/tex], quindi, solo se [tex]x=3[/tex] o [tex]x=23[/tex] o [tex]x=29[/tex] allora [tex]y[/tex] sarà un numero razionale in quanto un numero del tipo [tex]\sqrt[x]{x^x}[/tex] è un numero razionale.
Quindi diamo ad [tex]x[/tex] i valori di [tex]3[/tex], [tex]23[/tex] e [tex]29[/tex] e troviamo le soluzioni.
Le soluzioni [tex](x;y)[/tex] sono [tex](3;3^{23*29})[/tex], [tex](23; 23^{3*29})[/tex] e [tex](29; 29^{3*23})[/tex]
b) Lo stesso ragionamento fatto in precedenza lo facciamo ora e quindi [tex]y[/tex] lo possiamo esprimere come [tex]x^{3*23*29*\frac{1}{x}}[/tex], per rendere razionale questo numero abbiamo dimostrato in precedenza che [tex]x[/tex] divide almeno un numero fra 3,23 e 29. E quindi i possibili valori di [tex]x[/tex] possono essere tutti i divisori di 2001; che sono 1, 3, 23, 29, 69, 87, 667, 2001.
Andiamo ad analizzare i vari casi:
[tex]x=1[/tex], abbiamo [tex]1^{2001}=y^1[/tex] ovvero [tex]y=1[/tex] e quindi la soluzione [tex](x;y)[/tex] è [tex](1;1)[/tex]
[tex]x=3[/tex], abbiamo [tex]3^{2001}=y^3[/tex] ovvero [tex]y=3^{667}[/tex] e quindi la soluzione [tex](3;3^{667})[/tex], soluzione che in precedenza avevamo già trovato come [tex]23*29[/tex]
[tex]x=23[/tex], abbiamo [tex]23^{2001}=y^{23}[/tex] ovvero [tex]y=23^{87}[/tex] e quindi la soluzione [tex](23;23^{87}[/tex], soluzione che anche in questo caso avevamo già trovato in precedenza.
[tex]x=29[/tex] abbiamo [tex]29^{2001}=y^{29}[/tex] ovvero [tex]y=29^{69}[/tex] e quindi la soluzione [tex](29;29^{69}[/tex], soluzione che anche in questo caso abbiamo già trovato in precedenza.
[tex]x=69[/tex] abbiamo [tex]69^{2001}=y^{69}[/tex] ovvero [tex]y=69^{29}[/tex] e quindi la soluzione [tex](69;69^{29}[/tex]
[tex]x=87[/tex] abbiamo [tex]87^{2001}=y^{87}[/tex] ovvero [tex]y=87^{23}[/tex] e quindi la soluzione [tex](87;87^{23}[/tex]
[tex]x=667[/tex] abbiamo [tex]667^{2001}=y^{667}[/tex] ovvero [tex]y=667^3[/tex] e quindi la soluzione [tex](667;667^3[/tex]
[tex]x=2001[/tex] abbiamo [tex]2001^{2001}=y^{2001}[/tex] ovvero [tex]y=2001[/tex] e quindi la soluzione [tex](2001;2001)[/tex]
Le soluzioni, quindi, sono [tex](1;1)[/tex], [tex](3;3^{667})[/tex], [tex](23;23^{87}[/tex], [tex](29;29^{69}[/tex], [tex](69;69^{29}[/tex], [tex](87;87^{23}[/tex], [tex](667;667^3[/tex] e [tex](2001;2001)[/tex]
