The three little positive integers and the big bad fraction

[cip999]

Siano $x$, $y$, $z$ tre interi positivi tali che $$xyz \mid x^2 + y^2 + z^2$$
Dimostrare che allora $\dfrac{x^2 + y^2 + z^2}{xyz}$ è uguale alla posizione di Viola alle IMO o alla quattordicesima parte del punteggio di Viola alle IMO.

[Rho33]

Scommetto che quella frazione può essere soltanto $1$ oppure $3$ , giusto?

[cip999]

Sì, e aggiungo che non saprete mai (non prima delle prossime IMO, s'intende) se Viola arriverà terzo con 14 punti o primo con 42...

[carlotheboss]

Direi che Viola anche con 14 punti arriverebbe comunque primo

[Rho33]

Dato che ho imparato da pochissimo la tecnica super-affascinante del Vieta-Jumping e dato che il necroposting non è mai abbastanza, ecco la soluzione a questo problema (di cui vorrei pure sapere la fonte, dato che non è il classico esempio che si vede sempre):

Testo nascosto:

Sia:

$$\dfrac {x^2+y^2+z^2}{xyz}=k \iff x^2+y^2+z^2-kxyz=0$$

Possiamo innanzitutto porre WLOG $z \leq y \leq x$ perché il tutto è simmetrico. Detto ciò, dato che vogliamo sfondare tutto con il Vieta Jumping, vediamo il testo come una bellissima equazione di $2^\circ$ grado in $x$. Ora un minimo di euristica su cosa fare per concludere subito, basandoci sul fatto che, detta $(x,y,z)$ soluzione minima, anche $(x',y,z)$ lo è in base a delle condizioni:

$\bullet $ Sfruttare il fatto che la somma delle radici è:

$$x+x'=kyz$$ NO! Non si va da nessuna parte purtroppo

$\bullet $ Sfruttare il fatto che il prodotto delle radici è:

$$x \cdot x'=y^2+z^2$$ NO! Non si va da nessuna parte purtroppo

$\bullet$ Sfruttare l'unica cosa rimasta e soprattutto la più brutale di tutte, ovvero il $\Delta$

$$x,x'= \dfrac {kyz \pm \sqrt {(kyz)^2-4(y^2+z^2)}}{2}$$

Ora, se $x$ è quella con il $+$ , abbiamo subito un assurdo perché $x'<x$ che non ci piace per minimalità di $x$. Quindi $x<x'$, ovvero:

$$x= \dfrac {kyz - \sqrt {(kyz)^2-4(y^2+z^2)}}{2}$$

Ora cerchiamo di sfruttare il WLOG iniziale, infatti sappiamo che:

$$y \leq x \iff 2y \leq kyz \pm \sqrt {(kyz)^2-4(y^2+z^2)}$$ ora quadrando tutto e manipolando otteniamo (sfruttiamo anche il WLOG iniziale nuovamente):

$$kz \leq 3 \iff k \leq 3$$

Non resta che controllare $k=1,2,3$. Ponendo tutte le variabili uguali a $1,3$ otteniamo i due valori di $k$ cercati, mentre con $k=2$ si ottiene un assurdo (basta fare una discesa sul generico $x^2+y^2+z^2=2^h \cdot xyz$ e viene subito)

[Federico II]

Ma no, non hai capito il testo, dovevi dimostrare che poteva valere solo $63$ o $\frac{27}{14}$

[Rho33]

Nah, credo che cip si riferisse al tuo punteggio ed alla tua posizione dell'anno prossimo, o al massimo tra due