Cese 2013, 4

[Livex]

In quali basi [tex]b> 6[/tex] la scrittura [tex]5654[/tex] rappresenta una potenza di un numero primo?

Testo nascosto:

Ovvero [tex]5b^3+6b^2+5b+4=p^k[/tex]
Possiamo scomporlo in [tex]b+1=p^n[/tex] e [tex]5b^2+b+4=p^m[/tex], per [tex]b>6[/tex] banalmente [tex]5b^2+b+4>b+1[/tex] cioè [tex]m>n[/tex] cioè [tex]b+1 \mid 5b^2+b+4=(5b-5)(b+1)+8[/tex] da cui [tex]b+1 \mid 8[/tex], per cui l'unica possibilità è [tex]b=7[/tex] che effettivamente soddisfa la tesi.

[Giovanni98]

Il numero $5654$ in base $b$ corrisponde al numero $5b^3 + 6b^2 + 5b + 4 = (b+1)(5b^2 + b + 4)$ in base decimale. Ora , questo deve corrispondere alla potenza di un primo e $b>6$ entrambi i fattori devono essere potenze di un primo, che chiamiamo $p$. Da $p \mid b+1$ si ha $b \equiv -1 \pmod p$ quindi deve valere $5+(-1)+4=8 \equiv 0 \pmod 8$ e quindi $p=2$. Si ponga $b=2^n-1$ e si sostituisca in $5b^2 + b + 4$. Si ottiene $5 \cdot 4^m - 2^{n+1} + 8 + 2^n$ che deve essere uguale a $2^m$ con $m >0$ intero. Notiamo che se $n \ge 4$ si ha che $8 \mid \mid 5 \cdot 4^m - 5 \cdot 2^{n+1} + 8 + 2^n$ dove però $5 \cdot 4^m - 5 \cdot 2^{n+1} + 8 + 2^n>8$ quindi $n \le 3$. Tuttavia $b>6$ che comporta $n \ge 3$ e quindi $n=3$. Provando $b=7$ si ha che $5b^2+b+4 = 256$ che è un potenza di $2$ e che quindi $b=7$ è l'unica soluzione.

[Rho33]

Tanto per scrivere qualcosa, un Cese 2 di qualche hanno fa è sostanzialmente identico, solo più facile ed immediato:

$p^n=m^2-144$ con $p \in \mathbb{P}$ e $m,n \in \mathbb{Z}$