[tex]x^4+x=3y^2[/tex]
Edit: la mia soluzione:
Testo nascosto:
Raccogliamo [tex]x[/tex] a sinistra e fattorizziamo la somma di cubi ottenendo:
[tex]x(x+1)(x^2-x+1)=y^2[/tex]
Per prima cosa occorrono delle deduzioni preliminari, notiamo che:
[tex]\bullet[/tex] [tex]x+1 \equiv x^2-x+1 \pmod 3[/tex] e questo si dimostra ad esempio sostituendo;
[tex]\bullet[/tex] [tex]MCD(x, x+1)=1, MCD(x, x^2-x+1)=1[/tex]; la prima relazione è abbastanza banale, la seconda è vera poichè [tex]x^2-x+1 \equiv 1 \pmod x[/tex].
Fatto ciò supponiamo [tex]3\mid x+1 \rightarrow 3\mid x^2-x+1 \rightarrow 3\mid y^2 \rightarrow 3\mid y[/tex] e così poniamo
[tex]x+1=3k, x^2-x+1=3q, y=3h[/tex], riscrivendo avremo:
[tex](3k-1)(3k)(3q)=3\cdot 9h^2[/tex], certamente posso dividere ambo i membri per [tex]9[/tex], da cui:
[tex](3k-1)(k)(q)=3h^2[/tex] e noto quindi come mi sono ricondotto ad una situazione omologa a quella iniziale, per cui potrei reiterare il procedimento di prima ponendo [tex]3\mid k,q[/tex] procedendo all'infinito, questo caso pertanto è assurdo.
Necessariamente si ha [tex]3\mid x[/tex], ma abbiamo già visto come [tex]x[/tex] sia coprimo con [tex]x+1[/tex] e [tex]x^2-x+1[/tex] e quindi, poichè abbiamo appena dimostrato che [tex]3[/tex] è coprimo con [tex]y[/tex], si ha che [tex]y^2 \mid (x+1)(x^2-x+1)[/tex], ma c'è di più, infatti le richieste sopra poste sono contemporaneamente realizzate solo se [tex]x=3[/tex] e [tex](x+1)(x^2-x+1)=y^2[/tex] che si vede essere impossibile per sostituzione. Da qui valgono solo le soluzioni banali che annullano i due membri [tex](0,0); (-1,0).[/tex]
[tex]x(x+1)(x^2-x+1)=y^2[/tex]
Per prima cosa occorrono delle deduzioni preliminari, notiamo che:
[tex]\bullet[/tex] [tex]x+1 \equiv x^2-x+1 \pmod 3[/tex] e questo si dimostra ad esempio sostituendo;
[tex]\bullet[/tex] [tex]MCD(x, x+1)=1, MCD(x, x^2-x+1)=1[/tex]; la prima relazione è abbastanza banale, la seconda è vera poichè [tex]x^2-x+1 \equiv 1 \pmod x[/tex].
Fatto ciò supponiamo [tex]3\mid x+1 \rightarrow 3\mid x^2-x+1 \rightarrow 3\mid y^2 \rightarrow 3\mid y[/tex] e così poniamo
[tex]x+1=3k, x^2-x+1=3q, y=3h[/tex], riscrivendo avremo:
[tex](3k-1)(3k)(3q)=3\cdot 9h^2[/tex], certamente posso dividere ambo i membri per [tex]9[/tex], da cui:
[tex](3k-1)(k)(q)=3h^2[/tex] e noto quindi come mi sono ricondotto ad una situazione omologa a quella iniziale, per cui potrei reiterare il procedimento di prima ponendo [tex]3\mid k,q[/tex] procedendo all'infinito, questo caso pertanto è assurdo.
Necessariamente si ha [tex]3\mid x[/tex], ma abbiamo già visto come [tex]x[/tex] sia coprimo con [tex]x+1[/tex] e [tex]x^2-x+1[/tex] e quindi, poichè abbiamo appena dimostrato che [tex]3[/tex] è coprimo con [tex]y[/tex], si ha che [tex]y^2 \mid (x+1)(x^2-x+1)[/tex], ma c'è di più, infatti le richieste sopra poste sono contemporaneamente realizzate solo se [tex]x=3[/tex] e [tex](x+1)(x^2-x+1)=y^2[/tex] che si vede essere impossibile per sostituzione. Da qui valgono solo le soluzioni banali che annullano i due membri [tex](0,0); (-1,0).[/tex]