Credo di avere trovato una soluzione molto bella a questo esercizio che non è algebrica per nulla ! Mi è venuta in mente mentre guardavo la risoluzione di un limite con una differenza di radici ed ho riciclato più o meno lo stesso trucco. Lo lascio per un po', poi la posto:
Sia $p$ un primo dispari, consideriamo l'insieme:
$$\mathcal S:=\{(x,y)\in\mathbb{N}^2 : \sqrt{2p}-\sqrt{x}-\sqrt{y}>0\}.$$
Determinare:
$$\min\{\sqrt{2p}-\sqrt{x}-\sqrt{y} : (x,y)\in\mathcal S\}.$$
Hint: