Lemma potente L03-4

[Rho33]

Il lemma seguente è davvero carino (soprattutto nello statement, a mio parere) ed è usato per varie cose utili. La dimostrazione è molto più facile di quello che uno si aspetti (ci ho pensato tutto il pomeriggio, mentre risolvevo il problema ELMO SL e provavo la diofantea di Rbbn ), ed ora mi è finalmente uscita

Sia $f(x)$ un polinomio a coefficienti interi. Sia $k$ un intero positivo ed $r$ un intero tale che $f(r) \equiv 0 \pmod {p}$.
Se $f'(r) \not \equiv 0 \pmod p$, allora esiste un intero $s$ tale che $f(s) \equiv 0 \pmod {p^{k}}$ ed $s \equiv r \pmod {p}$. Inoltre $s$ è unico $\pmod {p^{k}}$ .

Bonus: Sia $f(x)$ un polinomio a coefficienti interi. Sia $k$ un intero positivo ed $r$ un intero tale che $f(r) \equiv 0 \pmod {p^k}$. Sia $m \leq k$ un intero positivo.
Se $f'(r) \not \equiv 0 \pmod p$, allora esiste un intero $s$ tale che $f(s) \equiv 0 \pmod {p^{k+m}}$ ed $s \equiv r \pmod {p^k}$. Inoltre $s$ è unico $\pmod {p^{k+m}}$ .