[L03] Non quadra! (SG)

[Gizeta]

Propongo questo problema con una soluzione guidata per i più giovani, questo implica che per rendere istruttivo il tutto sia necessario dimostrare ogni singola proposizione presentata (e che i più esperti debbano tenersi alla larga ).


Siano [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] due interi tali che [tex]0<b<a[/tex].
Supponiamo che [tex](a-b,ab+1)=1[/tex] e [tex](a+b,ab-1)=1[/tex].
Dimostrare che [tex](a-b)^2+(ab+1)^2[/tex] non è un quadrato perfetto.

Hint 1:

Testo nascosto:

Provaci da solo!

Hint 2:

Testo nascosto:

La regia propone di sviluppare e fattorizzare la quantità che non quadra e supporre al contrario che lo faccia.

Hint 3:

Testo nascosto:

[tex]d:=(a^2+1,b^2+1)[/tex]

Hint 4:

Testo nascosto:

[tex](p \mid q \land p \mid r) \Rightarrow p \mid q \pm r[/tex]

Hint 5:

Testo nascosto:

Belle le differenze di quadrati, no?

Hint 6:

Testo nascosto:

[tex](d, a-b)=[/tex]?

Hint 7:

Testo nascosto:

Eh, sì, [tex]d \mid a+b[/tex]

Hint 8:

Testo nascosto:

[tex]d=1[/tex], no?

Hint 9:

Testo nascosto:

E quindi come devono essere [tex]a^2+1[/tex] e [tex]b^2+1[/tex]?

Hint 10:

Testo nascosto:

Ti pare possano esserlo?

Bye!