[L03/04] Potreste riconoscerlo

[Gerald Lambeau]

Trovare il minimo $k$ tale che la cifra più a sinistra dell'espressione in base dieci di $2^k$ sia:
i) $7$;
ii) $9$.

[mr96]

Maledetto comunque se non sbaglio era il 24 della GaS 2013 (o 2014?)

[Gerald Lambeau]

2014, me lo ricordo bene perché fu la mia prima GaS: da noi lo risolse solo una squadra, se penso a quello che posso fare ora e a tutti i problemi di quella gara che nei mesi successivi ho risolto in pochi minuti...

[ElPaso98]

Ok, in pratica non c'ho provato nemmeno, però mi piacerebbe vedere la soluzione

[Gerald Lambeau]

Butto un paio di hint:

Testo nascosto:

guardati la prima cifra delle potenze di $2$ fino a $2^9$ (qualcuno dirà: "grazie al c*zz*", ma rispondergli rivelerebbe troppo)

Testo nascosto:

$2^{10}=1024$ aiuta

.

[Gerald Lambeau]

Dato che volevi la soluzione, diciamo qualcosa di utile va':

Testo nascosto:

nelle prime dieci potenze di due troviamo come prima cifra 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, 1. Quelle più vicine a 7 sono 6 e 8 e quelle più vicine a 9 sono 8 e 1. Avevo detto che serviva $2^{10}=1024$. Effettivamente moltiplicare per $2^{10}$ è un po' come moltiplicare per 1000, ma ottenendo qualcosa in più; questo mi suggerisce che, moltiplicando di volta in volta per $2^{10}$, a lungo andare potrei ottenere un numero con la prima cifra più grande della prima cifra del numero da cui sono partito, cosa che ovviamente non succede moltiplicando solo per 1000. Quindi mi piacerebbe da 6 passare a 7 e da 8 passare a 9. Cerco quindi i più piccoli $h, k$ tali che i numeri $2^{10h+6}, 2^{10k+3}$ inizino rispettivamente con le cifre 7 e 9. In generale in GaS questo basta per risolvere, ma vogliamo assicurarci che altre potenze più piccole non diano il risultato che cerchiamo. Come? Boh, questo dettaglio in realtà non ho pensato di curarlo particolarmente, ma io direi che la strada migliore sia stimare le altre potenze fra due numeri per "costringere" la loro prima cifra a non essere una delle due cercate. Ovviamente questo mi interessa solo per esponenti minori di $10h+6$ e $10k+3$, dove $h$ e $k$ sono i numeri che ho trovato.