77. Donald Trump says "China"

[Veritasium]

Dato un primo [tex]p,[/tex] sia [tex]G_p[/tex] l'insieme degli interi positivi [tex]n[/tex] tali che [tex]p \mid n! + 1[/tex] e sia [tex]g(p)[/tex] la cardinalità di [tex]G_p.[/tex]
Dimostrare che esiste una costante [tex]c[/tex] tale che per ogni primo [tex]p[/tex] valga [tex]g(p) \le cp^{\frac{2}{3}}[/tex]

[Veritasium]

Metto una serie di hint (che insieme fanno circa la soluzione) per chi volesse provarlo

Testo nascosto:

Ovviamente $0 < n < p$

Testo nascosto:

Se [tex]n < n'[/tex] funzionano allora [tex](n+1)(n+2)\cdot ... \cdot n' \equiv 1 \pmod p[/tex]

Testo nascosto:

$P(x) = 0$ ha al più $k$ soluzioni in [tex]\mathbb F_p[x][/tex] dove [tex]k[/tex] è il grado di [tex]P[/tex]

Testo nascosto:

Allora cosa posso dire su quanti [tex]n[/tex] soddisfano al massimo, vista la relazione del secondo hint?

Testo nascosto:

Da qui è combinatoria: se ce ne sono troppi, ci sarà forse un polinomio che ha troppi zeri?

[Salvador]

Ma è IMO?

[Veritasium]

Molto peggio

Testo nascosto:

TST cinese

[Salvador]

Aej.
Ah per questo Donald Trump says "China"
Quindi è tipo L06?

[Veritasium]

In realtà per definizione sarebbe [tex]L07,[/tex] poi in realtà la differenza è labile e soggettiva a quel livello.

[Salvador]

Aej. Cioè il livello più difficile?

[Veritasium]

Sì, questa è la definizione di L07

[Salvador]

Lol.
E allora sarà meglio che posti la soluzione. Non credo che ci si arriverà facilmente

[Veritasium]

La soluzione consiste praticamente nell'unire la serie di hint che ho messo. Poi non mi è chiaro il "ci si arriverà": è palese che nessuno che non abbia già pesante esperienza con problemi di livello internazionale può "arrivarci", né tanto meno apprezzare o ricavare qualcosa da un suo outline. Chi invece ne ha, e si parla di un po' di persone su questo forum, ha già provato e risolto/guardato gli hint il problema.
Con questo non voglio dire che gli altri non hanno diritto di provare il problema, ma non vedo perché quale urgentissimo motivo "sarà meglio" che io posti la soluzione, che tra l'altro è praticamente già postata.

Da come scrivi sembra quasi che ci sia una qualche mafia interna che preme perché io posti la soluzione