ammissione WC 2017 N1

[Nadal01]

Sia [tex]k[/tex] un intero positivo, e, per ogni intero positivo [tex]n[/tex], denotiamo con [tex]s(n)[/tex] la somma delle
cifre decimali di [tex]n[/tex]. Sia [tex]A_{k}[/tex] l’insieme dei numeri [tex]n[/tex] che hanno esattamente [tex]k[/tex] cifre decimali e
tali che [tex]s(n) < s(2n)[/tex]. Sia [tex]B_{k}[/tex] l’insieme dei numeri [tex]n[/tex] che hanno esattamente [tex]k[/tex] cifre decimali
e tali che [tex]s(n) > s(2n)[/tex]. Dimostrare che [tex]A_{k}[/tex] e [tex]B_{k}[/tex] hanno lo stesso numero di elementi.

[Salvador]

Ci provo (ditemi se è giusta)...

Testo nascosto:

Per ogni numero $n$ di $k$ cifre chiamo $\bar{n}=10^k-1-n$. Se $s(n)<s(2n)$, allora $s(\bar{n})>s(2\bar{n})$ e viceversa.
Supponiamo per assurdo che $s(n)<s(2n)$ e $s(\bar{n})<s(2\bar{n})$. Allora $s(n)+s(\bar{n})<s(2n)+s(2\bar{n})$. Tuttavia "per costruzione" il primo termine è $99...9$ ($k$ volte 9), e allo stesso modo nel secondo eseguendo l'addizione non si svolge mai il riporto, dunque la somma è esattamente uguale a $s(2*99...9)=s(199...98)=s(99...9)$, in quanto $199...8$ contiene $k-1$ 9. Di conseguenza si avrebbe $9k<9k$, assurdo. Allo stesso modo supponendo $s(n)>s(2n)$ e $s(\bar{n})>s(2\bar{n})$ si otterrebbe $9k>9k$, altro assurdo. Pertanto per ogni elemento $n$ in $A_k$ esiste un altro elemento ($\bar{n}$) in $B_k$ e dunque la tesi è dimostrata.

Ditemi se è corretta e - se lo fosse - come posso migliorare la parte in cui dico che l'addizione si svolge senza riporto.