Mi sto leggendo le dispense olimpioniche e questo esercizio non so come farlo:
Si consideri l'equazione:
x^2007 = y^x
a) Determinare tutte le soluzioni (x; y) con x intero primo e y intero positivo
b) Determinare tutte le soluzioni (x; y) con x e y interi positivi
EQUAZIONE DIOFANTEA
Re: EQUAZIONE DIOFANTEA
Prima di tutto riscriviamo il problema fattorizzando e otteniamo [tex]x^{3*3*223} = y^x[/tex]
A questo punto basta notare che [tex]a^b = c^a[/tex] solo quando le loro basi e i loro esponenti sono uguali oppure i loro esponenti sono uno sottomultiplo dell' altro e le loro basi sono una potenza dell'altra. Ora consideriamo il caso A, [tex]p^{223*3*3} = y^p[/tex]. Affinché i loro esponenti siano uguali [tex]p[/tex] dovrebbe valere [tex]2007[/tex] che però non é primo, allora [tex]p[/tex] deve essere un sottomultiplo primo di [tex]2007[/tex]. Da qui [tex]p=(3,223)[/tex]. Con [tex]p=3[/tex] otteniamo la coppia [tex](3,3^{669})[/tex] e con [tex]p=223[/tex] otteniamo la coppia [tex](223,223^9)[/tex]. Ora consideriamo il caso generale che è solo un espansione di quello precedente, tenendo sempre conto che [tex]x[/tex] deve essere uguale a [tex]2007[/tex] o suo sottomultiplo otteniamo le due coppie precedenti a cui vanno aggiunte [tex](9,9^{223})[/tex],[tex](223^3,223^9)[/tex],[tex](223^{2007},223^{2007})[/tex]
A questo punto basta notare che [tex]a^b = c^a[/tex] solo quando le loro basi e i loro esponenti sono uguali oppure i loro esponenti sono uno sottomultiplo dell' altro e le loro basi sono una potenza dell'altra. Ora consideriamo il caso A, [tex]p^{223*3*3} = y^p[/tex]. Affinché i loro esponenti siano uguali [tex]p[/tex] dovrebbe valere [tex]2007[/tex] che però non é primo, allora [tex]p[/tex] deve essere un sottomultiplo primo di [tex]2007[/tex]. Da qui [tex]p=(3,223)[/tex]. Con [tex]p=3[/tex] otteniamo la coppia [tex](3,3^{669})[/tex] e con [tex]p=223[/tex] otteniamo la coppia [tex](223,223^9)[/tex]. Ora consideriamo il caso generale che è solo un espansione di quello precedente, tenendo sempre conto che [tex]x[/tex] deve essere uguale a [tex]2007[/tex] o suo sottomultiplo otteniamo le due coppie precedenti a cui vanno aggiunte [tex](9,9^{223})[/tex],[tex](223^3,223^9)[/tex],[tex](223^{2007},223^{2007})[/tex]