Quarte potenze
Inviato: 16/02/2017, 15:28
Determinare tutte le terne $(x,y,z)$ di numeri reali tali che per ognuno di questi la sua potenza quarta sia uguale alla somma degli altri due ($x^4=y+z, y^4=x+z, z^4=x+y$).
Testo nascosto:
Sottraggo la prima dalla seconda e ottengo [tex](x-y)[(x+y)(x^2+y^2)+1]=0[/tex]. Ma [tex]x+y=z^4 \ge 0[/tex] quindi per forza [tex]x=y[/tex]. Analogamente [tex]y=z[/tex]. Quindi [tex]x=y=z[/tex] cioè [tex]x^4=2x[/tex] ossia [tex]x=0[/tex] oppure [tex]x=2^{1/3}[/tex]. Le terne richieste sono allora [tex](0,0,0)[/tex]e [tex](2^{1/3},2^{1/3},2^{1/3})[/tex]