[L02] Terne reciproche
[L02] Terne reciproche
Quante sono le terne di numeri interi positivi [tex]a, b, c[/tex] tali che la somma dei loro reciproci sia un numero intero positivo?
Re: [L02] Terne reciproche
Testo nascosto:
Re: [L02] Terne reciproche
Ok!
Propongo una soluzione alternativa
[tex]\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+ac+bc}{abc}[/tex] (1)
Step 1: [tex]a \mid bc[/tex] e cicliche
Step 2 [tex](a,b)=1 \Rightarrow c=ab[/tex]
Ora distinguiamo quattro casi:
[tex]\cdot[/tex] Due coprimalità;
[tex]\cdot[/tex] tre coprimalità;
[tex]\cdot[/tex] una coprimalità;
[tex]\cdot[/tex] zero coprimalità.
Nel primo caso possiamo supporre WLOG che si abbia [tex](a,b)=1[/tex] e [tex](b,c)=1[/tex], ad esempio, ossia [tex]c=ab[/tex] e [tex]a=bc[/tex] (per il secondo step), ossia ancora [tex]c=ab=b^2c \rightarrow b^2=1 \iff b=1[/tex], che porta alle due terne [tex](1,1,1)[/tex] e [tex](2,1,2)[/tex] [qualsiasi scelta alternativa di coprimalità porta solo a delle permutazioni di queste due terne].
Il secondo caso porta banalmente ad una impossibilità, alla luce del primo.
Per il terzo caso caso scegliamo WLOG [tex](a,b)=1[/tex], ossia [tex]c=ab[/tex], che conduce alla seguente riscrittura di (1)
[tex]\displaystyle \frac{a+b+1}{ab}[/tex]
[tex]a=1[/tex] porta alle medesime terne trovate prima, [tex]a=2[/tex] aggiunge la terna [tex](2,3,6)[/tex].
Non è difficile ora convincersi che se [tex]a \ge 3[/tex] si ha [tex]\displaystyle \frac{a+b+1}{ab} < 2[/tex], possiamo dunque supporre [tex]a \ge 3[/tex] e risolvere
[tex]\displaystyle \frac{a+b+1}{ab}=1 \rightarrow a+b+1=ab \rightarrow b=\frac{a+1}{a-1}=\frac{(a-1)+2}{a-1}=1+\frac{2}{a-1}[/tex], intero positivo se e solo se [tex]a-1=1[/tex] o [tex]a-1=2[/tex], ossia [tex]a=2[/tex] o [tex]a=3[/tex], che portano entrambi a terne già trovate.
Il quarto caso è simmetrico rispetto ai primi tre, infatti possiamo porre [tex]a=pa_1[/tex], [tex]b=pb_1[/tex], [tex]c=pc_1[/tex], dove [tex]p[/tex] è il fattore comune; riscriviamo quindi (1) come
[tex]\displaystyle \frac{1}{p}\left(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{b_1}+\frac{1}{c_1}\right)[/tex]
dove la terna [tex](a_1,b_1,c_1)[/tex] ricade in uno dei tre casi precedentemente analizzati e quindi non può che portare alle medesime terne soluzione, le cui "somme inverse" risultano [tex]3[/tex], [tex]2[/tex] e [tex]1[/tex], quindi, rispettivamente, [tex]p=1,3[/tex], [tex]p=1,2[/tex], [tex]p=1[/tex], che aggiungono le due terne [tex](3,3,3)[/tex] e [tex](4,2,4)[/tex].
Propongo una soluzione alternativa
[tex]\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+ac+bc}{abc}[/tex] (1)
Step 1: [tex]a \mid bc[/tex] e cicliche
Testo nascosto:
Step 2 [tex](a,b)=1 \Rightarrow c=ab[/tex]
Testo nascosto:
Ora distinguiamo quattro casi:
[tex]\cdot[/tex] Due coprimalità;
[tex]\cdot[/tex] tre coprimalità;
[tex]\cdot[/tex] una coprimalità;
[tex]\cdot[/tex] zero coprimalità.
Nel primo caso possiamo supporre WLOG che si abbia [tex](a,b)=1[/tex] e [tex](b,c)=1[/tex], ad esempio, ossia [tex]c=ab[/tex] e [tex]a=bc[/tex] (per il secondo step), ossia ancora [tex]c=ab=b^2c \rightarrow b^2=1 \iff b=1[/tex], che porta alle due terne [tex](1,1,1)[/tex] e [tex](2,1,2)[/tex] [qualsiasi scelta alternativa di coprimalità porta solo a delle permutazioni di queste due terne].
Il secondo caso porta banalmente ad una impossibilità, alla luce del primo.
Per il terzo caso caso scegliamo WLOG [tex](a,b)=1[/tex], ossia [tex]c=ab[/tex], che conduce alla seguente riscrittura di (1)
[tex]\displaystyle \frac{a+b+1}{ab}[/tex]
[tex]a=1[/tex] porta alle medesime terne trovate prima, [tex]a=2[/tex] aggiunge la terna [tex](2,3,6)[/tex].
Non è difficile ora convincersi che se [tex]a \ge 3[/tex] si ha [tex]\displaystyle \frac{a+b+1}{ab} < 2[/tex], possiamo dunque supporre [tex]a \ge 3[/tex] e risolvere
[tex]\displaystyle \frac{a+b+1}{ab}=1 \rightarrow a+b+1=ab \rightarrow b=\frac{a+1}{a-1}=\frac{(a-1)+2}{a-1}=1+\frac{2}{a-1}[/tex], intero positivo se e solo se [tex]a-1=1[/tex] o [tex]a-1=2[/tex], ossia [tex]a=2[/tex] o [tex]a=3[/tex], che portano entrambi a terne già trovate.
Il quarto caso è simmetrico rispetto ai primi tre, infatti possiamo porre [tex]a=pa_1[/tex], [tex]b=pb_1[/tex], [tex]c=pc_1[/tex], dove [tex]p[/tex] è il fattore comune; riscriviamo quindi (1) come
[tex]\displaystyle \frac{1}{p}\left(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{b_1}+\frac{1}{c_1}\right)[/tex]
dove la terna [tex](a_1,b_1,c_1)[/tex] ricade in uno dei tre casi precedentemente analizzati e quindi non può che portare alle medesime terne soluzione, le cui "somme inverse" risultano [tex]3[/tex], [tex]2[/tex] e [tex]1[/tex], quindi, rispettivamente, [tex]p=1,3[/tex], [tex]p=1,2[/tex], [tex]p=1[/tex], che aggiungono le due terne [tex](3,3,3)[/tex] e [tex](4,2,4)[/tex].
Re: [L02] Terne reciproche
Un po' più laboriosa ma bella.