È 'Il robot depresso' di Cese2016, semifinale.
Siano [tex]a_1,...,a_5[/tex] cinque numeri naturali minori di [tex]2243[/tex] (che è un numero primo) tali che [tex]a_i^5+2016a_i+2016[/tex] sia sempre multiplo di [tex]2243[/tex], quanto vale [tex]a_1^4+...+a_5^4[/tex] in modulo [tex]2243[/tex]?
Potrbbe servire
Testo nascosto:
[tex]2016=2^{11}-2^5[/tex] e [tex]2243=2^{11}+2^7+2^6+2+1[/tex]
Devono essere distinti, altrimenti la soluzione non è univocamente determinata.
Detto questo, non credo serva a molto scrivere le cose come somme e differenze di potenze di due in questo problema, non c'è nulla che le chiami.
Io l'ho fatto molto tecnico e contoso, in spoiler un fatto che ho usato:
Testo nascosto:
se ho un polinomio di grado $k$ che so avere $k$ radici distinte modulo $p$ (nel nostro caso $k=5$, la radice è definita modulo $p$ come quel valore che rende il polinomio congruo a $0$), allora per esso valgono le formule di Viète (modulo $p$ ovviamente)
. Dopo sono soltanto conti.
"I matematici non realizzano nulla... semplicemente scoprono e dimostrano verità intrinseche riguardanti tutto ciò che esiste, ovvietà e banalità per una mente superiore, perfetta. Ed è quello il mio obiettivo!"
Cit. Marco (mio vero nome)
Truccone un po' più elaborato di quello usato da Gerald:
$\mathbb F_p$, cioè gli interi modulo un primo $p$ sono un campo, ovvero puoi invertire tutti i numeri non nulli.
Osservando intanto che $0$ non è radice del polinomio, possiamo passare da $x^5+2016x+2016=0$ a $x^4+2016+2016x^{-1}=0$.
A questo punto $\sum a_i^4=\sum -2016-\frac{2016}{a_i}=-5\cdot2016-2016\sum\frac1{a_i}$ e come tutti i bimbi sanno, la somma dei reciproci delle radici di un polinomio è $-\frac{c_1}{c_0}$ dove $c_i$ sono i coefficienti del polinomio.
Per cui la risposta è $-4\cdot2016\equiv -4\cdot(-227)\equiv908\pmod{2243}$
Rischio di aprire un topic un po' vasto, ma che relazione c'è tra una congruenza in [tex]x[/tex] e la sua 'equazione associata'? Se avete delle dispense a riguardo mi piacerebbe approfondire la cosa
