Il proBleMa dellO scandalo

[Ale99]

Trovare tutte le funzioni [tex]f: \mathbb{Z}^+ \rightarrow \mathbb{Z}^+[/tex] tali che [tex]\forall m,n \in \mathbb{Z}^+[/tex] si abbia ;
[tex]\begin{equation} m-n|f(m)-f(n) \\ f(m!)=f(m)! \end{equation}[/tex]

[Roob]

Riscriviamo la condizione di divisibilità come [tex]km-kn=f (m)-f (n)[/tex], da cui [tex]f (m)=km +f (n) -kn[/tex]. Questa quantità, per [tex]m[/tex] fisso, deve essere sempre uguale, e quindi anche [tex]f (n)-kn[/tex] lo deve essere. Poniamo [tex]f (n)-kn=a[/tex] e otteniamo che [tex]f (n)=kn+a[/tex].
Sostituendo nella seconda condizione [tex]m=1[/tex] si ha che [tex]k+a=(k+a)![/tex] questo è possibile solo se [tex]k+a[/tex] è uguale ad [tex]1[/tex] o a [tex]2[/tex]. Abbiamo quindi che [tex]a=1-k[/tex] o che [tex]a=2-k[/tex].
Sostituendo invece [tex]m=2[/tex], otteniamo che [tex]2k+a=(2k+a)![/tex], e quindi anche [tex]2k+a[/tex] può essere uguale solo ad [tex]1[/tex] e a [tex]2[/tex].
Sostituendo i due precedenti valori di [tex]a[/tex] si ottengono i seguenti casi:
[tex]k=0[/tex] e [tex]a=1[/tex], da cui [tex]f (n)=1[/tex], che soddisfa.
[tex]k=0[/tex] e [tex]a=2[/tex], da cui [tex]f (n)=2[/tex], che soddisfa.
[tex]k=1[/tex] e [tex]a=0[/tex], da cui [tex]f (n)=n[/tex], che soddisfa.
[tex]k=-1[/tex] e [tex]a=3[/tex], da cui [tex]f (n)=-n+3[/tex], che non soddisfa perché assume valori negativi.

Spero che sia giusta.

[Ale99]

No, nessuno ti assicura che quel [tex]k[/tex] sia fisso ... per alcune coppie [tex](m,n)[/tex] potrebbe valere [tex]2[/tex] e per altre [tex]34235[/tex] ... Comunque si le soluzioni sono quelle ma la dimostrazione non è valida ...

Testo nascosto:

Prova ad usare tutte e due le condizioni insieme

[Roob]

Ah vero, grazie, ci penserò!