Funzioni $k$atastrofiche.

[Giovanni98]

Una funzione $f:\mathbb{Z}^+ \rightarrow \mathbb{Z}^+$ è definita $k$-atastrofica se $$f_k(n)=n^k$$per ogni $n$ intero positivo, dove $k$ è un intero positivo $>1$ fissato. Determinare per quali $k$ esiste una funzione $k$-atastrofica.

NOTA : $f_2(n) = f(f(n))$ , $f_3(n) = f(f(f(n)))$ , $f_4(n) = f(f(f(f(n))))$ e cosi via...

[Ale99]

Vabbè, credo di sbagliare qualcosa ...

Testo nascosto:

A quanto pare per tutti i [tex]k[/tex] riusciamo a costruire questo schifo di funzione

Testo nascosto:

Allora innanzitutto $f(1)=1$ ... Adesso definiamo qualche successione ...
Data una successione $a_i$ la chiamiamo $k$-ritica se e solo se $ \forall j \in \mathbb{Z}^+ $ abbiamo che [tex]a_{jk+i}=a_i^{jk}[/tex]
Chiaramente data una qualsiasi $k$-upla possiamo creare una successione [tex]k[/tex]-ritica a partire da quella ...
Dunque ora prendiamo la $k$-upla [tex](2,3,\ldots,2+k-1)[/tex] e costruiamo la relativa successione [tex]k[/tex]-ritica ... Chiamiamola [tex]K_1[/tex]
Ora prendiamo la $k$-upla formata dai primi numeri non contenuti in [tex]K_1,K_2,\ldots K_j[/tex] costruiamo la relativa successione $k$-ritica e chiamiamola $K_{j+1}$ ...
Notiamo che le successioni sono a due a due disgiunte e la loro unione è proprio $\mathbb{Z}^+ - {1} $, dunque se dimostriamo che una successione $k$-ritica è una restrizione di una funzione $k$-atastrofica abbiamo vinto ...
Ma questo è ovvio per come abbiamo definito queste successioni
Dunque dato [tex]k[/tex] l'unione delle varie successioni $K_1,K_2, \ldots$ ci da la nostra funzione $k$-atastrofica

Dovesse tornare così sarebbe molto figo

[Ale99]

Emh ma quindi é giusta, sbagliata, un po' ed un po', cosa ?