"Successione con resto"

[mmaarrccoo]

Ciao a tutti, qualcuno può darmi qualche dritta su come svolgere questo quesito?

"Sia an una successione di interi tale che an = 6^n + 8^n per ogni n>=0. Quanto vale il resto della divisione di a83 per 49?

Grazie

[Lasker]

Idea 1:

Testo nascosto:

Scrivi $6^n+8^n$ come $(7-1)^n+(7+1)^n$ ed espandi con il teorema binomiale, la maggior parte dei termini della somma ti vengono multipli di $49$ e ti avanza solo $7\cdot 83-1+7\cdot 83+1=1162$ che ha resto $35$ diviso per $49$.

Idea 2:

Testo nascosto:

Usa il teorema di Eulero-Fermat per trovare $6^{83}+8^{83}\equiv 6^{-1}+8^{-1} \pmod {49}\equiv \frac{7}{24} \pmod {49}$ e adesso notando che $24\cdot 2=48\equiv -1 \pmod {49}$ puoi dedurre che $\frac{1}{24}\equiv -2 \pmod {49}$ da cui la risposta è $7(-2)\equiv -14\equiv 35 \pmod {49}$

Sono strade diverse, la prima è più facile mentre la seconda è più standard (uso teoria delle congruenze solo nella seconda).

[mmaarrccoo]

Perfetto, grazie mille