Aiutino

[Benny140]

Sia [tex]Div(n) = \left \{ 1 = d_{1}, d_{2}, ..., d_{r}, d_{r+1} = n \right \}[/tex] l'insieme dei divisori dell'intero [tex]n[/tex] con [tex]d_{1} < d_{2}<...<d_{r}<n[/tex]. Mostrare che se [tex]d_{2} > \sqrt[3]{n}[/tex], allora [tex]n = d_{2}[/tex](quindi [tex]n[/tex] è primo) o [tex]d_{r}[/tex] è primo. Dare un esempio di un tale [tex]n[/tex].


L'ho trovato qui: http://dm.unife.it/philippe.ellia/Docs/ ... OnLine.pdf

[Ale99]

Qualche aiutino

Testo nascosto:

$d_2$ è sicuramente un primo

Testo nascosto:

$d_2 \cdot d_r = ? $

Testo nascosto:

ma allora $d_r<d_2^2$

Testo nascosto:

dai ora è facile, solo un paio di disuguaglianze molto ovvie

Soluzione

Testo nascosto:

Abbiamo $d_2 \cdot d_r = n $ da cui unitamente all'ipotesi $d_2 > n^{\frac{1}{3}}$ abbiamo $ d_r < d_2 ^2 $ ma allora o $n=d_2^2$ dunque $r=2$ ed esempio $n=4$
oppure $d_2^2>n$ quindi $d_2$ è l'unico divisore di $n$ dunque $n$ primo, esempio $n=2$, perché altrimenti $d_3\cdot d_2 > n $ assurdo

[Benny140]

Fino a [tex]d_{r} < d_{2}^{2}[/tex] c'ero arrivato pure io, ma poi non ho capito come si conclude. Perchè non può essere [tex]d_{r}<d_{2}^{2}<n[/tex]?

[Ale99]

Supponiamo esiste un altro primo $p>d_2$ che divida $n$ allora $d_2 \cdot p $ divide $n$ ma questo è assurdo in quanto $d_2 \cdot p > d_2 ^2 \ge n $

[Benny140]

Ma perchè [tex]d_{2}^{2}[/tex]non può essere [tex]<n[/tex]?

[Ale99]

Mmh forse perché ho dato per scontata una cosa che non lo era hahahahahah

[Benny140]

Cioè?

[ElPaso98]

Non posso scrivere la mia soluzione al momento, posso darti un hint al volo (per come ho provato io)

Testo nascosto:

prova a dimostrare che [tex]n[/tex] può avere al massimo due primi nella sua fattorizzazione

[ElPaso98]

[tex][/tex]

Testo nascosto:

Considera la fattorizzazione [tex]n=p_1^{a_1}\cdot...\cdot p_k^{a_k}[/tex] con [tex]p_1 <p_2 <...<p_k[/tex] e [tex]a_i \ge 1[/tex]. Il nostro [tex]p_1[/tex] è il primo più piccolo, è dunque uguale a [tex]d_2[/tex].
Vale la seguente disuguaglianza: [tex]p_1^3>p_1^{a_1}\cdot...p_k^{a_k}>p_1^{a_1+...+a_k}[/tex] che implica [tex]a_1+...+a_k<3[/tex].
I casi allora sono i seguenti:
[tex]\bullet n=p_1\cdot p_2[/tex] e allora [tex]d_r=p_2[/tex] e cioè è primo, basta osservare il numero [tex]6[/tex]
[tex]\bullet n=p_1^2[/tex]e allora [tex]d_2=d_r[/tex] ed è primo
[tex]\bullet n=p_1[/tex]