Engel NT 47-b

[Vinciii]

Trovare tutte le soluzioni intere di $$x^2-y^2=2xyz$$

[Salvador]

Provo ma non so se sia corretto...

Testo nascosto:

Dal teorema delle radici razionali ricaviamo che $x|-y^2$ e $y|-x^2$, quindi o $x=\pm ky$ o $y=\pm hx$, dove $k|y$ e $h|x$. Nel primo caso si ha $k^2y^2-y^2=\pm 2ky^2z$, da cui per y non nullo si ha $k^2-1=\pm 2kz$, per la quale il teorema delle radici razionali implica $k=\pm 1$. In maniera del tutto analoga si ha $h=\pm 1$, da cui consegue $x=\pm y$, che porta a $0=\pm 2x^2z$, con le soluzioni $(n,\pm n,0)$ e $(0,0,m)$.

[Giovanni98]

$x = 3$ e $y=9$ mi pare che soddisfino le condizioni di divisibilità eppure in modulo non sono uguali.

[Roob]

Sbagliato, dovevo finire di scriverla

[ElPaso98]

Io ho fatto così.
Voglio scriverla così: [tex]x^2-2xyz-y^2=0[/tex]. Considero come un'equazione di secondo grado in [tex]x[/tex] e faccio il delta che vale [tex]4y^2z^2+4y^2=4y^2(z^2+1)[/tex], ora se [tex]x[/tex] è intero, il delta deve essere un quadrato perfetto, tenuto conto del fatto che [tex]y,z[/tex] mi interessano interi. Quindi [tex](2y)^2 (z^2+1)[/tex] è un quadrato sse lo è [tex]z^2+1[/tex] e da qui si conclude (sono da cellulare e non mi va molto ), poi si fa il caso ponendo [tex]y[/tex] come incognita

[Roob]

Quindi [tex](2y)^2 (z^2+1)[/tex] è un quadrato sse lo è [tex]z^2+1[/tex]

O se [tex]y=0[/tex]

Dopodiché la mia (spero) soluzione:
Supponiamo [tex]x,y,z\neq 0[/tex] e scriviamo come [tex](x+y)(x-y)=2xyz[/tex]
E osserviamo che l'RHS è un multiplo di [tex]x[/tex], quindi lo deve essere anche l'LHS. Se [tex]y[/tex] fosse coprimo con [tex]x[/tex] lo sarebbero anche [tex]x+y[/tex] e [tex]x-y[/tex], e il loro prodotto non potrebbe essere un multiplo di [tex]x[/tex]. Quindi [tex]MCD (x,y)=k>1[/tex]
Scriviamo allora [tex]x=kx_0[/tex] e [tex]y=ky_0[/tex], dove [tex]x_0[/tex] e [tex]y_0[/tex] sono coprimi e sostituiamo nell'equazione iniziale.
Otteniamo [tex]k^2x_0^2-k^2y_0^2=2k^2x_0y_0z[/tex], che dividendo per [tex]k^2[/tex] diventa [tex]x_0^2-y_0^2=2x_0y_0z[/tex], uguale all'equazione iniziale, dove [tex]x_0>0[/tex] e [tex]y_0>0[/tex], e sono coprimi, quindi per il ragionamento di prima non abbiamo soluzioni.
Se [tex]x=0[/tex] abbiamo che [tex]-y^2=0[/tex], che dà la soluzione [tex](0,0,a)[/tex]
Per [tex]y=0[/tex] stesso discorso
Se [tex]z=0[/tex] [tex]x^2=y^2[/tex], che dà la soluzione [tex](a,\pm a,0)[/tex]

[Salvador]

$x = 3$ e $y=9$ mi pare che soddisfino le condizioni di divisibilità eppure in modulo non sono uguali.

Ho modificato