x^y=y^x
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Re: x^y=y^x
Se solo uno fra x e y fosse negativo allora avremmo che uno dei due membri è frazionario, l'altro intero; se invece sono entrambi negativi allora le soluzioni trovate dovrebbero essere le stesse (quindi (-2;-4) soddisfa l'equazione)
Re: x^y=y^x
Sì ma dico come si dimostra che (n,n), (2,4) e (4,2) sono le uniche?parisgermain98 ha scritto:Se solo uno fra x e y fosse negativo allora avremmo che uno dei due membri è frazionario, l'altro intero; se invece sono entrambi negativi allora le soluzioni trovate dovrebbero essere le stesse (quindi (-2;-4) soddisfa l'equazione)
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Re: x^y=y^x
Penso di essere riuscito a dimostrare che sono le uniche soluzioni, appena posso posto la dimostrazioneSalvador ha scritto:Sì ma dico come si dimostra che (n,n), (2,4) e (4,2) sono le uniche?parisgermain98 ha scritto:Se solo uno fra x e y fosse negativo allora avremmo che uno dei due membri è frazionario, l'altro intero; se invece sono entrambi negativi allora le soluzioni trovate dovrebbero essere le stesse (quindi (-2;-4) soddisfa l'equazione)
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Re: x^y=y^x
Scusate se un po' lunga e contorta, è l'unica che mi è venuta in mente, ce ne sarà sicuramente una migliore
P.S fatemi sapere se ci sono errori
P.P.S. è la prima volta che uso il LateX, apprezzate lo sforzo
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Testo nascosto:
- Giovanni98
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Re: x^y=y^x
@parisgermain98 : Dal WLOG $y < x$ non puoi dedurre $a_i < b_i$ per ogni $1 \leq i \leq n$. Come controesempio $y=3^2\cdot 4\cdot 5$ e $x=3 \cdot 4 \cdot 5^2$.
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Re: x^y=y^x
Lo so, infatti l'ho dedotto in un passaggio successivo, poiché [tex]x[/tex] è elevato alla [tex]y[/tex], ogni potenza dei fattori primi di [tex]x[/tex], quindi gli [tex]a_i[/tex], sono moltiplicati per [tex]y[/tex], così come i [tex]b_i[/tex] sono moltiplicati per [tex]x[/tex], da QUI l'osservazione (almeno pare ) correttaGiovanni98 ha scritto:@parisgermain98 : Dal WLOG $y < x$ non puoi dedurre $a_i < b_i$ per ogni $1 \leq i \leq n$. Come controesempio $y=3^2\cdot 4\cdot 5$ e $x=3 \cdot 4 \cdot 5^2$.
- Giovanni98
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Re: x^y=y^x
Okay si scusa, avevo mancato io l'osservazione.