x^y=y^x

[Salvador]

Come si dimostra che negli interi positivi l'unica soluzione è x=2, y=4 o viceversa e le soluzioni in cui x=y? E negli interi generici?

[parisgermain98]

Se solo uno fra x e y fosse negativo allora avremmo che uno dei due membri è frazionario, l'altro intero; se invece sono entrambi negativi allora le soluzioni trovate dovrebbero essere le stesse (quindi (-2;-4) soddisfa l'equazione)

[Salvador]

Se solo uno fra x e y fosse negativo allora avremmo che uno dei due membri è frazionario, l'altro intero; se invece sono entrambi negativi allora le soluzioni trovate dovrebbero essere le stesse (quindi (-2;-4) soddisfa l'equazione)

Sì ma dico come si dimostra che (n,n), (2,4) e (4,2) sono le uniche?

[parisgermain98]

Se solo uno fra x e y fosse negativo allora avremmo che uno dei due membri è frazionario, l'altro intero; se invece sono entrambi negativi allora le soluzioni trovate dovrebbero essere le stesse (quindi (-2;-4) soddisfa l'equazione)

Sì ma dico come si dimostra che (n,n), (2,4) e (4,2) sono le uniche?

Penso di essere riuscito a dimostrare che sono le uniche soluzioni, appena posso posto la dimostrazione

[parisgermain98]

Scusate se un po' lunga e contorta, è l'unica che mi è venuta in mente, ce ne sarà sicuramente una migliore
P.S fatemi sapere se ci sono errori
P.P.S. è la prima volta che uso il LateX, apprezzate lo sforzo

Testo nascosto:

Poiché l'equazione è simmetrica, possiamo supporre [tex]y>x[/tex] (nel caso [tex]x=y[/tex] l'equazione si riduce banalmente ad un'identità). [tex]x[/tex] ed [tex]y[/tex] devono avere gli stessi fattori primi nella loro scomposizione (ovviamente elevati a potenze diverse); se così non fosse vi sarebbe un fattore primo in uno dei due membri,assente nell'altro (l'elevamento a potenza non aggiunge fattori primi alla scomposizione). Possiamo scrivere quindi [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] come:
[tex]x=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_n^{a_n}[/tex] e [tex]y=p_1^{b_1}p_2^{b_2}...p_n^{b_n}[/tex] con tutti gli [tex]a_i[/tex] e i [tex]b_i[/tex] interi positivi. Affinché sia soddisfatta l'equazione dobbiamo avere per ogni [tex]a_i[/tex] e [tex]b_i[/tex]:
[tex]a_iy=b_ix[/tex]; avendo supposto WLOG [tex]y>x[/tex], si deve avere [tex]a_i<b_i[/tex] per tutti gli [tex]i[/tex] compresi fra [tex]1[/tex] e [tex]n[/tex],quindi [tex]x|y[/tex]. [tex]\displaystyle \frac{y}{x}[/tex] è quindi un numero intero, così come [tex]\displaystyle \frac{b_i}{a_i}[/tex] (dall'uguaglianza precedente), il che significa, essendo tale rapporto un numero intero e costante, che [tex]y[/tex] è una potenza intera di [tex]x[/tex].
Possiamo quindi scrivere [tex]y=x^{c}[/tex] con [tex]c[/tex] intero positivo e l'equazione diventa [tex]\displaystyle x^{cx}=x^{x^c}[/tex] che, per [tex]x[/tex] diverso da [tex]0[/tex] (caso che rende l'equazione impossibile) implica [tex]cx=x^{c}[/tex] e con la stessa condizione [tex]\displaystyle x=\sqrt[c-1]{c}[/tex].
Dimostriamo per induzione che [tex]\displaystyle \sqrt[c-1]{c}<2[/tex] per qualunque [tex]c\ge3[/tex]. Il caso base è banalmente vero, supponendo [tex]\displaystyle \sqrt[c-1]{c}<2[/tex], abbiamo che:
[tex]c<2^{c-1}[/tex]
[tex]2c<2^{c}[/tex], e poichè [tex]c+1<2c[/tex] per tutti i [tex]c\ge3[/tex]:
[tex]c+1<2^{c}[/tex], ovvero la tesi per [tex]c+1[/tex]. Quindi per [tex]c\ge3[/tex], [tex]x[/tex] può essere solo uguale a 1, che porta alla soluzione banale, già considerata [tex](1;1)[/tex]. Se [tex]c=1[/tex] allora [tex]y=x[/tex], vedi sopra;resta da considerare il caso [tex]c=2[/tex], che porta a [tex]x=2[/tex] e [tex]y=4[/tex]. Le uniche soluzioni non banali sono quindi [tex](2;4)[/tex] e simmetricamente [tex](4;2)[/tex]

[Giovanni98]

@parisgermain98 : Dal WLOG $y < x$ non puoi dedurre $a_i < b_i$ per ogni $1 \leq i \leq n$. Come controesempio $y=3^2\cdot 4\cdot 5$ e $x=3 \cdot 4 \cdot 5^2$.

[parisgermain98]

@parisgermain98 : Dal WLOG $y < x$ non puoi dedurre $a_i < b_i$ per ogni $1 \leq i \leq n$. Come controesempio $y=3^2\cdot 4\cdot 5$ e $x=3 \cdot 4 \cdot 5^2$.

Lo so, infatti l'ho dedotto in un passaggio successivo, poiché [tex]x[/tex] è elevato alla [tex]y[/tex], ogni potenza dei fattori primi di [tex]x[/tex], quindi gli [tex]a_i[/tex], sono moltiplicati per [tex]y[/tex], così come i [tex]b_i[/tex] sono moltiplicati per [tex]x[/tex], da QUI l'osservazione (almeno pare ) corretta

[Giovanni98]

Okay si scusa, avevo mancato io l'osservazione.