[L04] La sezione nasconde il trucco

[Gerald Lambeau]

Dimostrare che $\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \frac{i}{2^i}=2$.

[Veritasium]

Testo nascosto:

$2 - \sum_{n = 1}^{N} \frac{n}{2^n} = \frac{2^{N+1} - (2^{N-1}•1 + 2^{N-2}•2 + ... +1•N)}{2^N}
= \frac{S_N}{2^N} = \frac{N+2}{2^N}$ per la seguente induzione:
[tex]S_1[/tex] vero
[tex]S_{N+1} = S_N + 2^{N+1} - (2^{N} + ... + 1) = S(N) + 1[/tex]
Prendendo il limite si ha la tesi.

[Gerald Lambeau]

Buona.

[Salvador]

Forse è un po' improprio ma sembra funzionare...

Testo nascosto:

Chiamiamo $x$ la quantità cercata. Allora si ha:
$x=1/2+2/4+3/8+4/16+5/32+6/64+7/128+...=(1/2+2/4)+(1/2-1/8)+1/4+(1/8+1/32)+(1/16+2/64)+(1/32+3/128)+...=1-1/8+(1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+...)+(1/32+2/64+3/128+...)=15/8+1/16x$, ovvero $x=15/8+1/16x$, da cui $x=2$.

[Gerald Lambeau]

È giusta!
È anche bella, solo che per come tratti la somma devi avere l'ipotesi che sia convergente, ma dato dato che ti ho detto nel testo che ha un limite l'ipotesi ce l'hai, quindi è perfetta.

[Salvador]

Ottimo grazie!