Lasker ha scritto:Rilancio 3: è ancora vero con "n numeri che non si possono scrivere come somma di due quadrati"?
Testo nascosto:
un po' fiacco come rilancio, ma pazienza
Testo nascosto:
Sì! Infatti se $n$ ha un fattore congruo a $3$ $\pmod 4,$ $n$ non è somma di due quadrati. Altrimenti usando Legendre si avrebbe $a^2 \equiv -b^2 \pmod p \Longrightarrow 1 = \displaystyle{(\frac{-b^2}{p}) =
(\frac{-1}{p}) \cdot (\frac{b^2}{p}}) = -1$ assurdo. Ora scelgo $n$ primi congrui a $3$ $\pmod 4$ e faccio la solita congruenza con CRT.
Per dimostrare che quei primi sono infiniti basta che per assurdo suppongo siano finiti e considero il doppio del quadrato del loro prodotto e sommo $1$: è congruo a $3$ modulo $4$ ma non ha fattori congrui a $3$ modulo $4$, assurdo.
Ultima modifica di Veritasium il 18/05/2017, 19:40, modificato 1 volta in totale.
Beh il problema originale è carino e strafamoso, e si presta a generalizzazioni random, quindi mi sembra naturale
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.
Attenzione che per essere somma di due quadrati la condizione non è non avere primi congrui a $3 \mod 4$, ma che tutti quei primi abbiano esponente pari. Giusto per curiosità, anche la versione con le somme di quadrati si può fare con la stessa idea delle potenze perfette (ossia stimando la densità)-e naturalmente l'avere densità $0$ è una proprietà più forte. Serve un metodo per crivellare in qualche modo usando i primi congrui a $3 \mod 4$; è un interessante esercizio e se non vi viene trovate una soluzione ad esempio qui o qui.