Tanti numeri composti

[Salvador]

IUSS 2014-2015
Discutere sulla verità della seguente affermazione:
"per ogni intero positivo $n$ esiste una sequenza di $n$ numeri composti".

[parisgermain98]

(n+1)!+2
(n+1)!+3
...
(n+1)!+n+1 sono n numeri composti per qualunque n, visto che si può raccogliere da ognuno di essi 2,3,...,n+1

[mr96]

Rilancio 1: è ancora vero con "$n$ non potenze di primi"?

[DrJekyll00]

Più o meno come il 4 della simulazione individuale olimato di quest'anno, no?

[Veritasium]

Rilancio 1: è ancora vero con "$n$ non potenze di primi"?

Testo nascosto:

Scelgo $n$ coppie di primi $(p_k, q_k)$ di modo che i $2n$ primi siano tutti distinti e considero la bella congruenza [tex]x \equiv -k \pmod {(p_k \cdot q_k)^{\alpha_k}}, k = 1, ..., n[/tex] (con $\alpha_k \neq 0$ e tale che tutti i moduli siano maggiori di $n$) che ha soluzione per $CRT$ essendo i numeri su cui prendiamo i moduli a due a due coprimi e ci fa vincere considerando $x+1, ..., x+n,$ ciascuno divisibile per almeno due potenze di primo.

[mr96]

Ok

Rilancio 2: è ancora vero con "$n$ non potenze perfette"?

@DrJekyll: beh no, sono abbastanza diversi...

[Veritasium]

Ok

Rilancio 2: è ancora vero con "$n$ non potenze perfette"?

@DrJekyll: beh no, sono abbastanza diversi...

Testo nascosto:

Supponiamo sia falso e sia $N$ il più grande intero positivo tale che esistono $N$ non potenze perfette consecutive. Ciò significa che in ogni lista $a,
a+1, ..., a+N$ di $N+1$ interi positivi consecutivi c'è almeno una potenza perfetta. Da ciò segue che la densità asintotica delle potenze perfette è $\delta \ge \frac{1}{N+1}$ (formalmente, detto $P_n$ l'insieme delle potenze perfette minori o uguali di $n$ e $c(P_n)$ la sua cardinalità, $lim_{n \to \infty} \frac{c(P_n)}{n} \ge \frac{1}{N+1}$.
Tuttavia la densità asintotica delle potenze perfette è $lim_{n \to \infty} \frac{n^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{3}} + ... }{n} = 0,$ assurdo.

Più o meno come il 4 della simulazione individuale olimato di quest'anno, no?

Diciamo che il rilancio 2 può ricordare, infatti questo qua sopra è un lemma che ho usato nella soluzione del 4 in gara

[mr96]

E per ora ho finito i rilanci mi sa

[Veritasium]

E per ora ho finito i rilanci mi sa

Noo dai era divertente! Provo a inventarmi qualcosa io allora

[Lasker]

Rilancio 3: è ancora vero con "n numeri che non si possono scrivere come somma di due quadrati"?

Testo nascosto:

un po' fiacco come rilancio, ma pazienza