NUMERI PRIMI
NUMERI PRIMI
Quali sono le coppie [tex](p,q)[/tex] di numeri primi tali che [tex]p^{q}+q^{p}[/tex] è un numero primo
Re: NUMERI PRIMI
Solo (3,2) e (2,3).
Almeno uno tra $p,q$ è pari e quindi uguale a 2: se infatti fossero entrambi dispari $p^q+q^p$ sarebbe pari e dunque uguale a 2, ma ciò obbligherebbe $p=q=1$, inaccettabile. Supponiamo $q=2$ e abbiamo $p^2+2^p$ che dev'essere primo.
Questa quantità non può essere pari a 3, in quanto bisognerebbe avere $p=1$, inaccettabile. Pertanto possiamo supporla maggiore di 3.
Si ha dunque $p^2+2^p\equiv\pm 1 \bmod{6}$. Poiché $p$ dev'essere dispari, si ha $2^p\equiv 2 \bmod{6}$, ovvero $p^2+2\equiv \pm 1 \bmod{6}$. Nel primo caso si ha $p^2\equiv -1 \bmod{6}$, impossibile; nel secondo si ha $p^2\equiv 3\bmod{6}$, soddisfatta solo per $p=3$ tra i primi, che dà come risultato $3^2+2^3=17$.
Almeno uno tra $p,q$ è pari e quindi uguale a 2: se infatti fossero entrambi dispari $p^q+q^p$ sarebbe pari e dunque uguale a 2, ma ciò obbligherebbe $p=q=1$, inaccettabile. Supponiamo $q=2$ e abbiamo $p^2+2^p$ che dev'essere primo.
Questa quantità non può essere pari a 3, in quanto bisognerebbe avere $p=1$, inaccettabile. Pertanto possiamo supporla maggiore di 3.
Si ha dunque $p^2+2^p\equiv\pm 1 \bmod{6}$. Poiché $p$ dev'essere dispari, si ha $2^p\equiv 2 \bmod{6}$, ovvero $p^2+2\equiv \pm 1 \bmod{6}$. Nel primo caso si ha $p^2\equiv -1 \bmod{6}$, impossibile; nel secondo si ha $p^2\equiv 3\bmod{6}$, soddisfatta solo per $p=3$ tra i primi, che dà come risultato $3^2+2^3=17$.
Re: NUMERI PRIMI
MIA SOLUZIONE
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