[L02/03] Tante potenze

[Salvador]

Dimostrare che l'equazione $a^2+b^3+c^4+d^5+e^6=f^7$ ha infinite soluzioni intere positive.

Testo nascosto:

Sia $(a,b,c,d,e,f)$ una soluzione. Allora anche $(ag^210,bg^140,cg^105,dg^84,eg^70,fg^60)$, con $g$ intero positivo, è una soluzione. Infatti $(ag^210)^2+(bg^140)^3+(cg^105)^4+(dg^84)^5+(eg^70)^6=(fg^60)^7; g^420(a^2+b^3+c^4+d^5+e^6)=g^420f^7$, che è un'identità per ipotesi.
Un esempio di soluzione è $(2,3,1,2,2,2)$: infatti $2^2+3^3+1^4+2^5+2^6=4+27+1+32+64=128=2^7$. Possiamo concludere dunque che esistono infinite soluzioni.

[Giovanni98]

Rilancio.

Dimostrare che l'equazione $\sum_{i=1}^{p-2} a_i^{i+1} = x^p$ ha infinite soluzioni intere positive, dove $p$ è un numero primo.

[Gerald Lambeau]

In teoria dovrei scrivere i problemi per il Senior, ma questo mi attirava di più!

Testo nascosto:

Intanto $p$ dev'essere un primo dispari, altrimenti la sommatoria è vuota e quindi $x=0$ che non ci va bene, ma son dettagli.
Mostriamo che esiste almeno una soluzione. Scegliamo $a_i=(p-2)^{((p-1)!)/(i+1)}$.
Allora $\displaystyle \sum_{i=1}^{p-2} a_i^{i+1}=\sum_{i=1}^{p-2} ((p-2)^{((p-1)!)/(i+1)})^{i+1}=\sum_{i=1}^{p-2} (p-2)^{(p-1)!}=(p-2)^{(p-1)!+1}$.
Per Wilson abbiamo che esiste $k$ intero positivo tale che $(p-1)!+1=kp$, quindi la nostra espressione diventa $(p-2)^{kp}=((p-2)^k)^p$ e quindi questa è una soluzione e sono tutti interi positivi perché $p>2$.
Ora, data una soluzione ne troviamo un'altra moltiplicando $a_i$ per $h^{(p!)/(i+1)}$ e $x$ per $h^{(p!)/(p)}$: questo fa moltiplicare tutti gli addendi ad entrambi i membri per $h^{p!}$ e troviamo un'altra soluzione.
$h$ intero positivo a piacere implica infinite soluzioni intere positive.