[L02] Dalla gara di Febbraio

[Dudin]

Dimostrare che esistono infinite terme di interi distinti (a, b, c) tali che [tex]a^2 + b^2 = 2c^2[/tex] e calcolare il minimo valore che può assumere c

[feddd]

Vedo che [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] o sono entrambi pari o entrambi dispari.
Parto dalla seconda ipotesi e provo i vari casi con [tex]a[/tex] il più piccolo possibile ovvero [tex]a=1[/tex].
Sostituendo [tex]b[/tex] con [tex]3,5,7[/tex] noto che [tex]1^2 + 7^2 = 2 \cdot 5^2[/tex]
e per induzione vale per tutte le terne [tex]1k,7k,5k[/tex] con [tex]k[/tex] intero.
Si dimostra che [tex]c=5[/tex] è il più piccolo valore possibile passando i casi possibili (che sono 4), abbastanza pochi.
È una risposta un po' alla "flusso di coscienza" di Joyce e un po' macchinosa ma è la prima che mi è venuta in mente...

[Dudin]

È corretta

[Salvador]

Si può anche fare così:
Se $x,y,z$ sono i tre termini di una terna pitagorica con $x^2+y^2=z^2$ allora si dimostra (te lo lascio da fare)(senza perdita di generalità $a\ge b, x\ge y$) che $a=x+y, b=x-y, c=z$. Poiché $(3,4,5)$ è la più piccola terna pitagorica, il minimo valore di $c$ è proprio $5$.

[CosecantofPi]

Si può anche fare così:
Se $x,y,z$ sono i tre termini di una terna pitagorica con $x^2+y^2=z^2$ allora si dimostra (te lo lascio da fare)(senza perdita di generalità $a\ge b, x\ge y$) che $a=x+y, b=x-y, c=z$. Poiché $(3,4,5)$ è la più piccola terna pitagorica, il minimo valore di $c$ è proprio $5$.

$(x+y)^2 + (x-y)^2 = 2x^2 + 2y^2 = 2z^2$
Segue banalmente la divisione per $2$ che porta a $x^2 + y^2 = z^2$ c.v.d
LOL