Vecchio sssup

[Bomberino98]

Determinare tutte le coppie (x, y) di numeri interi tali che:
[tex]x^4 + 3x^2 y^2 + 9 y^4 = (12)^2006[/tex]
E' 12 elevato 2006, non so perchè però non mi prendeva l'esponente
Mi servirebbe un aiuto

[Federico II]

Codice: Seleziona tutto

12^{2006}

[Lasker]

Testo nascosto:

"Discesa infinita" (ok non proprio, ma puoi eliminarti tutti i fattori $3$ con calma, e poi se guardi modulo $4$ dovrebbe succedere una cosa simile perché ti vengono $x$ e $y$ pari--->semplifichi fattori dal $12^{2006}$)

[Bomberino98]

OK ci ero arrivato però non ero sicuro si potesse concludere
Grazie mille

[Bomberino98]

Una volta che ho semplificato i fattori come faccio a determinare tutte le coppie??

[Vinciii]

Inizio a scrivere la prima parte perchè non ho molto tempo adesso e dopo magari completo:

Testo nascosto:

Abbiamo:$$x^4+3x^2y^2+9y^4=3^{2006}\cdot 4^{2006}$$ e dato che $3$ è primo abbiamo che $3\mid x^4 \Rightarrow 3\mid x$, da cui $x=3x_1$. Sostituiamo ed otteniamo $$3^4{x_1}^4+3^3{x_1}^2y^2+3^2y^4=3^{2006}\cdot 4^{2006}$$ che dividendo per $3^2$ diventa $$3^2{x_1}^4+3{x_1}^2y^2+y^4=3^{2004}\cdot 4^{2006}$$ da cui sappiamo che $3\mid y$ e $y=3y_1$, che sostituito e dividendo di nuovo per $3^2$ diventa $${x_1}^4+3{x_1}^2{y_1}^2+3^2{y_1}^4=3^{2002}\cdot 4^{2006}$$ Iterando questo processo altre $500$ volte (ogni volta dividiamo per $3^4$ in totale)
otteniamo $$x_{501}^4+3x_{501}^2y_{501}^2+3^2y_{501}^4=3^{2}\cdot 4^{2006}$$ con $x=3^{501}x_{501}$ e $y=3^{501}y_{501}$ da cui avendo che $3\mid x_{501}$, ponendo $x_{501}=3x_{502}$ e dividendo per $3^2$ otteniamo:$$3^2{x_{502}}^4+3{x_{502}}^2y_{501}^2+y_{501}^4=4^{2006}$$ Ora, le potenze quarte e i quadrati modulo $4$ possono essere o $0$ o $1$ (facile da verificare) e $3^2=9\equiv 1 \pmod 4$ quindi se uno solo tra ${x_{502}}^2$ e ${y_{501}}^2$ è congruo a $1 \pmod 4$ il $LHS$ è congruo a $1 \pmod 4$ e non ci sono soluzioni, mentre se lo sono entrambi è congruo a $5 \pmod 4$ ed ancora non ci sono soluzioni.
Perciò sono entrambi multipli di $4$, e quindi $x_{502}$ e $y_{501}$ sono entrambi multipli di $2$.

Perdonatemi eventuali typo.

[Vinciii]

Ecco la seconda parte:

Testo nascosto:

Per mia comodità chiamo $x_{502}=a$ e $y_{501}=b$. Abbiamo $9a^4+3a^2b^2+b^4=4^{2006}$ e $a$ e $b$ multipli di $2$.Poniamo $a=2a_1$ e $b=2b_1$ e dividiamo tutto per $4^2$ per ottenere $$9{a_1}^4+3{a_1}^2{b_1}^2+{b_1}^4=4^{2004}$$ Itero questo processo per $1002$ volte (ogni volta divido per $4^2$) ed alla fine avrò che per $k=\frac{a}{2^{1003}}$ e $h=\frac{b}{2^{1003}}$:$$9k^4+3k^2h^2+h^4=1$$ Dato che a sinistra abbiamo solo quantità positive o nulle, l'unica soluzione possibile si ha quando $k=0$ e $h=\pm 1$,che ci dà $x=0$e $y=\pm 3^{501}\cdot 2^{1003}$

[Lasker]

Mi sembra che deduci $4|a$ mentre in quel modo puoi dedurre solo $2|a$ (e lo stesso con $b$)

[Vinciii]

Ho corretto, grazie mille. Fammi sapere se ora è giusta

[Lasker]

Questo mi sembra proprio come farei io, non so se sia giusto però, non conoscevo il problema