Se $a,b,c \in \mathbb{Z}$, allora ogni numero dispari $n$ è prodotto di due fattori dispari (se $n$ è primo, allora sono $n$ e $1$), supponiamo siano $p,q$. Allora ponendo $b+c=p, b-c=q$ si ha $b=\frac{p+q}{2}, c=\frac{p-q}{2}$, ed entrambi esistono perché $p$ e $q$ sono dispari. Ponendo $a=0$ si ha $a^2+b^2-c^2=0+(b+c)(b-c)=pq=n$.
Per ogni numero dispari $n$, il successivo pari $n+1$ si ottiene ponendo $a=1$, dunque ogni intero $n$ è scrivibile come richiede la tesi.