[L02] Tdn con i primi
[L02] Tdn con i primi
Trovare tutte le terne ordinate di interi positivi (p, q, n) con p e q primi tali che: [tex]p^2 + q^2 = pqn + 1[/tex]
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CosecantofPi
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- Iscritto il: 15/04/2017, 13:34
Re: [L02] Tdn con i primi
E' simmetrico e porre $p=q$ non porta soluzione. Supponiamo dunque $p>q$
Cerchiamo di ottenere delle informazioni utili: modulo $p$ e modulo $q$ otteniamo che $p^2\equiv 1 (q)$ e $q^2\equiv 1 (p)$.
Riarrangiando otteniamo
$$p(p-qn)=(1-q)(1+q)$$
$p$ quindi divide o il primo o il secondo fattore. In entrambi i casi abbiamo dunque che $p\leq1+q$, ma avendo supposto $p>q$ l'unica possibilita' e' proprio la seconda, ma la scrivo per completezza.
Abbiamo 2 casi principali, di cui uno viene escluso velocemente:
1)$p=(1-q)$ cio' non ha evidentemente soluzione in interi positivi.
2)$p=(1+q)$ questo caso ha evidentemente soluzione e gli unici due primi che distano di $1$ sono $2, 3$.
Sostituendo otteniamo
$$9+4=6n+1$$
E da qui $n=2$.
Ricordandoci quindi della simmetria del problema possiamo elencare le seguenti soluzioni: $(3, 2, 2)$, $(2, 3, 2)$.
Cerchiamo di ottenere delle informazioni utili: modulo $p$ e modulo $q$ otteniamo che $p^2\equiv 1 (q)$ e $q^2\equiv 1 (p)$.
Riarrangiando otteniamo
$$p(p-qn)=(1-q)(1+q)$$
$p$ quindi divide o il primo o il secondo fattore. In entrambi i casi abbiamo dunque che $p\leq1+q$, ma avendo supposto $p>q$ l'unica possibilita' e' proprio la seconda, ma la scrivo per completezza.
Abbiamo 2 casi principali, di cui uno viene escluso velocemente:
1)$p=(1-q)$ cio' non ha evidentemente soluzione in interi positivi.
2)$p=(1+q)$ questo caso ha evidentemente soluzione e gli unici due primi che distano di $1$ sono $2, 3$.
Sostituendo otteniamo
$$9+4=6n+1$$
E da qui $n=2$.
Ricordandoci quindi della simmetria del problema possiamo elencare le seguenti soluzioni: $(3, 2, 2)$, $(2, 3, 2)$.
Ultima modifica di CosecantofPi il 10/07/2017, 12:56, modificato 1 volta in totale.